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直线的的方程、两条直线的位置关系54----11高三数学第一轮总复习讲义讲义31313131直线的的方程、两条直线的位置关系一、基本知识体系：1111、直线的倾斜角、斜率、方向向量：1求直线斜率的方法：（1）、定义法：k=tanα(α≠π2)；②斜率公式：k=y2-y1x2-x1(x1≠x2）；当x1=x2时，斜率不存在。③直线的方向向量：直线L的方向向量为→=（a,b),则该直线的斜率为k=ba2、直线方程的五种形式：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y-y1=k(x-x1)(x1,y1)为直线上的一个定点，且k存在不垂直于x轴的直线斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴的直线两点式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1(x1≠x2,y1≠y2(x1,y1)、(x2,y2)为直线上的两个定点，不垂直于x轴和y轴的直线截距式xa+yb=1(a,b≠0)a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)斜率为-AB，在x轴上的截距为-CA，在y轴上的截距为-CB任何位置的直线3、判断两条直线的位置关系的条件：斜载式：y=k1x+b1y=k2x+b2一般式：A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1·k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2且b1≠b2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0重合k1=k2且b1=b2A1B2-A2B1=A1C2-A2C1=B1C2-B2C1≠0=04、直线LLLL1111到直线LLLL2222的角的公式：tanθ=k2-k11+k1k2(k1k2≠-1)直线LLLL1111与直线LLLL2222的夹角公式：tanθ=|k2-k11+k1k2|(k1k2≠-1)5、点到直线的距离：点P（x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=A2+B2|Ax0+By0+C|6、两条平行的直线之间的距离：两条平行线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0之间的距离d=A2+B2|C1-C2|7、直线系方程：①、过定点P（x0,y0)的直线系方程：y-y0=k(x-x0)；②、平行的直线系方程：y=kx+b；③、过两直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=08、对称问题：点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称：二、典例剖析：★【例题1】、设函数ƒ（x）=asinx-bcosx图象的一条对称轴方程为x=π4,则直线ax-by+c=0的倾斜角为（B）Aπ4B3π4Cπ3D2π3直线的的方程、两条直线的位置关系54----22★【例题2】已知集合A={（x,y)|x=cosθ且y=sinθ,θ∈[0,π]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若A∩B有两个元素，则k的取值范围是_____▲解：画图可知，直线与半圆有两个交点，则[-12,0)★【例题3】已知直线过点P（-1，2）,且与以点A（-2，-3）、B（3，0）为端点线段相交，则直线L的斜率的取值范围是__(k≥5,或k≤-12)三、巩固练习：★【题1】已知两条直线2yax=−和(2)1yax=++互相垂直，则a等于（A）2（B）1（C）0（D）1−▲解：两条直线2yax=−和(2)1yax=++互相垂直，则(2)1aa+=−，∴a=－1，选D.★【题2】已知过点()2Am−，和()4Bm，的直线与直线210xy+−=平行，则的值为()A0B8−C2D10▲解：(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)★【题3】“21=m”是“直线03)2()2(013)2(=−++−=+++ymxmmyxm与直线相互垂直”的（B）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件▲【详解】当12m=时两直线斜率乘积为1−，从而可得两直线垂直；当2m=−时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在,但两直线仍然垂直；因此12m=是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.●注意：对于两条直线垂直的充要条件①12,kk都存在时12.1kk=−；②12,kk中有一个不存在另一个为零；对于②这种情况多数考生容易忽略.★【题4】若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0,b）(ab≠0)共线，则,11ab+的值等于________1/2★【题5】已知两条直线12:330,:4610.laxylxy+−=+−=若12//ll，则a=____.▲解：已知两条直线12:330,:4610.laxylxy+−=+−=若12//ll，233a−=−，则a=2.★【题6】已知圆2x－4x－4＋2y＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是．▲解：由已知得圆心为：(2,0)PPPP，由点到直线距离公式得：|201|2211dddd−−==+；★【题7】过点（1，2）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝．2Q\★【题8】直线1xy+=与圆2220(0)xyaya+−=没有公共点，则a的取值范围是A．(0,21)−B．(21,21)−+C．(21,21)−−+D．(0,21)+▲解：由圆2220(0)xyaya+−=的圆心(0,)a到直线1xy+=大于a，且0a，选A。★【题9】．若圆0104422=−−−+yxyx上至少有三个不同的点到直线0:=+byaxl的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是：A．]412[ππ，B．]12512[ππ，C．]36[ππ，D．]20[π，直线的的方程、两条直线的位置关系54----33▲解：圆0104422=−−−+yxyx整理为222(2)(2)(32)xy−+−=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+byaxl的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴22|22|2abab++≤，∴2()4()1aabb++≤0，∴23()23ab−−−+≤≤，()akb=−，∴2323−+≤k≤，直线l的倾斜角的取值范围是]12512[ππ，，选B.★【题10】7．圆0104422=−−−+yxyx上的点到直线014=−+yx的最大距离与最小距离的差是A．36B.18C.26D.25▲．解：圆0104422=−−−+yxyx的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到到直线014=−+yx的距离为|2214|252+−=32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=62，选C.★【题11】设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为()A．±2B．±2B．±22D．±4▲解；直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为yxa=+，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴||22a=，∴a的值±2，选B．★【题12】如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是(D):（A）32（B）364（C）4173（D）3212★【题13】如图，三定点A(2，1)，B(0，－1)，C(－2，1);三动点D，E，M满足AD→=tAB→，BE→=tBC→，DM→=tDE→，t∈[0，1]．(Ⅰ)求动直线DE斜率的变化范围;(Ⅱ)求动点M的轨迹方程．．▲解：如图，(Ⅰ)设D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由AD→=tAB→，BE→=tBC→，知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)．∴((((xD=－2t+2yD=－2t+1))))同理((((xE=－2tyE=2t－1))))．∴kDE=yE－yDxE－xD=2t－1－(－2t+1)－2t－(－2t+2)=1－2t．∴t∈[0，1]，∴kDE∈[－1，1]．(Ⅱ)∵DM→=tDE→∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)．∴((((x=2(1－2t)y=(1－2t)2))))，∴y=x24，即x2=4y．∵t∈[0，1]，x=2(1－2t)∈[－2，2]．即所求轨迹方程为:x2=4y，x∈[－2，2]※★【题14】已知圆M：（x＋cosθ）2＋（y－sinθ）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：（A）对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；（B）对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；（C）对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；（D）对任意实数k，必存在实数θ，使得直yxOMDABC－1－1－212BE直线的的方程、两条直线的位置关系54----44线l与和圆M相切；其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）▲解：圆心坐标为（－cosθ，sinθ）d＝222|kcossin|1k|sin|1k1k|sin|1θθθϕθϕ≤－－＋（＋）＝＋＋＝（＋）;故选（B）（D）※★【题15】在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为２，宽为１，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．▲解：（Ⅰ）(i)当0=k时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程21=y，(ii)当0≠k时，设A点落在线段DC上的点)1,(0xA′，)20(0≤≤x，则直线AO′的斜率001xAk=′，∵,AO′折痕所在直线垂直平分∴1−=⋅′kkAO，∴110−=⋅kx，∴kx−=0；又∵折痕所在的直线与AO′的交点坐标（线段AO′的中点）；为)21,2(kM−，∴折痕所在的直线方程)2(21kxky+=−，即2122kykx=++，由(i)(ii)得折痕所在的直线方程为：2122kykx=++)02(≤≤−k（Ⅱ）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21(,)21,0(22kkFkE+−+由（Ⅰ）知，0xk−=，∵200≤≤x，∴02≤≤−k，设折痕长度为d，所在直线的倾斜角为θ，(i)当0=k时，此时A点与D点重合,折痕的长为2；(ii)当02≤−k时，设kka212+−=，212+=kb，20=≤ABa时，l与线段AB相交，此时322+−≤≤−k，2=ABa时，l与线段BC相交，此时032+−k，10≤b时，l与线段AD相交，此时01≤−k，1b时，l与线段DC相交，此时12−≤−k，∴将k所在的分为３个子区间：①当12−≤−k时，折痕所在的直线l与线段DC、AB相交，折痕的长11||11||1|sin|1222+=+=+==kkkkkdθ，∴225≤d，②当321+−≤≤−k时，折痕所在的直线l与线段AD、AB相交，折痕的长4341434)21()21(2242222+++=+++−=kkkkkkd令0)(≥′xg，即0212333≥−+kkk，即013246≤−+kk，即0)21()1(222≤−+kk，O(A)BCDxy图5直线的的方程、两条直线的位置关系54----55∵321+−≤≤−k，∴解得3222+−≤≤−k；令0)(≤′xg，解得221−≤≤−k，故当221−≤≤−k时，)(xg是减函数，当3222+−≤≤−k时，)(xg是增函数，∵2)1(=−g，)348(4)32(−=+−g，∴)32()1(+−−gg，∴当32+−=k时，)348(4)32(−=+−g，)26(23482)32(−=−=+−=gd，∴当321+−≤≤−k时，)26(2−≤d，③当032+−k时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交，折痕的长2212112|cos|2kkd+=+==θ，∴34822−l，即)26(22−l，综上