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高三复习课选择题的解题方法与技巧题型特点概述选择题是高考数学试卷的三大题型之一。选择题的分数占全卷的40%,高考数学选择题的基本特点是：（1）大部分选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过他得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度（如思维层次、解题方法的优劣、阶梯速度的快慢等），所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一。(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题基本都有两种或两种以上的解法，能有效的检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力。目前高考数学选择题采用的是单项选择题，由于选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法。解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中（包括题干和选项）提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断。数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选项或从选项出发探求是否满足题干条件。解数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图像分析法、特殊值检验法、排除法和逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段。解题方法例析题型一直接对照法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选项．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．解析设双曲线的渐近线方程为y＝kx，这条直线与抛物线y＝x2＋1相切，联立y＝kxy＝x2＋1，整理得x2－kx＋1＝0，则Δ＝k2－4＝0，解得k＝±2，即ba＝2，故双曲线的离心率e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋(ba)2＝5.D求双曲线的一条渐近线的斜率即ba的值，尽而求离心率．例1设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.5思维启迪解析x2a2－y2b2＝1的其中一条渐近线方程为：y＝－bax，即bx＋ay＝0，而焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离d＝|b×a2＋b2|a2＋b2＝b.故选B.B变式训练1已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()A．aB．bC.abD.a2＋b2探究提高关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．题型二概念辨析法概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．例2已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，给出下列条件，①a＝kb(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a＋3b)∥(2a－b)；④a·b＝|a||b|；⑤x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2.其中能够使得a∥b的个数是()A．1B．2C．3D．4解析显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3b)＝λ(2a－b)，当λ≠12时，整理得a＝λ＋32λ－1b，故a∥b，当λ＝12时也可得到a∥b；④是正确的，若设两个向量的夹角为α，则由a·b＝|a||b|cosα，可知cosα＝1，从而α＝0，所以a∥b；⑤是正确的，由x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2，可得(x1y2－x2y1)2≤0，从而x1y2－x2y1＝0，于是a∥b.探究提高平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线向量．解析①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，a与b－c可以垂直，而不一定有b＝c，故①为假命题．②∵a∥b，∴1×6＝－2k.∴k＝－3.故②为真命题．③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60°，a＋b为其对角线上的向量，a与a＋b夹角为30°，故③为假命题．B变式训练2关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.则假命题为()A．①②B．①③C．②③D．①②③题型三数形结合法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．画出函数f(x)的图象，观察最高点，求出纵坐标即可．本题运用图象来求值，直观、易懂．解析由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．C例3(2009·海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．7思维启迪解析集合A中的元素是椭圆x24＋y216＝1上的点，集合B中的元素是函数y＝3x的图象上的点．由数形结合，可知A∩B中有2个元素，因此A∩B的子集的个数为4.A变式训练3(2010·湖北）设集合A＝(x，y)x24＋y216＝1，B＝(x，y)|y＝3x，则A∩B的子集的个数是()A．4B．3C．2D．1题型四特例检验法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．解析考查特殊数列0,0，…，0，…，不是等比数列，但此数列显然适合A，C，D项．故选B.B探究提高判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看an＋1an是否为常数，但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立．例4数列{an}成等比数列的充要条件是()A．an＋1＝anq(q为常数)B．a2n＋1＝an·an＋2≠0C．an＝a1qn－1(q为常数)D．an＋1＝an·an＋2解析方法一(特殊值检验法)取n＝1，得a2a1＝31，∴a1＋a2a1＝41＝4，于是，当n＝1时，S2nSn＝S2S1＝a1＋a2a1＝4.方法二(特殊式检验法)注意到a2nan＝4n－12n－1＝2·2n－12·n－1，取an＝2n－1，S2nSn＝1＋(4n－1)2·2n1＋(2n－1)2·n＝4.变式训练4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2nan＝4n－12n－1，则S2nSn的值为()A．2B．3C．4D．8方法三(直接求解法)由a2nan＝4n－12n－1，得a2n－anan＝2n2n－1，即ndan＝2n2n－1，∴an＝d(2n－1)2，于是，S2nSn＝a1＋a2n2·2na1＋an2·n＝2·a1＋a2na1＋an＝2·d2＋d2(4n－1)d2＋d2(2n－1)＝4.答案C题型五筛选法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．解析当a＝0时，x＝－12，故排除A、D.当a＝1时，x＝－1，排除B.故选C.探究提高选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键．对“至少有一个负根”的充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行．不但缩短时间，同时提高解题效率．C例5方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是()A．0a≤1B．a1C．a≤1D．0a≤1或a0解析令m＝0，由f(x)＝0得x＝13适合，排除A、B.令m＝1，由f(x)＝0得：x＝1适合，排除C.D变式训练5已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,1]C．(－∞，1)D．(－∞，1]题型六估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例6若A为不等式组x≤0y≥0y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为()A.34B．1C.74D．2解析如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S△OAB＝12×2×2＝2小，故选C项．探究提高“估算法”的关键是应该确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在所求值应该比△AOB的面积小且大于其面积的一半．解析∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝233，则S球＝4πR2≥4πr2＝163π5π，故选D.D变式训练6已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是()A.169πB.83πC.4πD.649π规律方法总结1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.知能提升演练1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁NB)等于()A．{1,5,7}B．{3,5,7}C．{1,3,9}D．{1,2,3}解析由于3∈∁NB，所以3∈A∩(∁NB)∴排除B、C、D，故选A.A2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析当k＝1时，c＝a＋b，不存在实数λ，使得a＝λb.所以c与d不共线，与c∥d矛盾．排除A、B；当k＝－1时，c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，所以c∥d，且c与d反向．故应选D.D解析(2y)2＝(1－x)(1＋x)(y≠0)得x2＋4y2＝1(y≠0)．D3．设x，y∈R，且2y是1＋x和1－x的等比中项，则动点(x，y)的轨迹为除去x轴上点的()A．一条直线B．一个圆C．双曲线的一支D．一个椭圆解析令等差数列{an}为常数列an＝16.显然a7－12a8＝16－8＝8.故选C.C4．在等差数列{a