经济预测与决策8_马尔柯夫预测法

经济预测与决策——第8讲马尔柯夫预测法主讲：周忠宝博士副教授湖南大学工商管理学院本讲内容马尔柯夫预测的基本概念与原理市场占有率的马尔柯夫预测期望利润的马尔柯夫预测马尔柯夫预测的基本概念与原理状态和状态转移状态是指客观事物可能出现或存在的状况。如企业的产品在市场上可能畅销，也可能滞销。状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或者消费心理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。马尔柯夫过程设预测对象为一系统，若该系统在某一时刻可能出现的状态为Ei，而该系统从状态Ei变化到另一状态Ej的状态转移过程称为马尔柯夫过程。它具有如下的两个特征：无后效性。即系统的第n次试验结果出现的状态，只于第n-1次时所处的状态有关，与它以前所处的状态无关；稳定性。即在较长时间下，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。概率向量和概率矩阵在一行向量中，如果每一元素都为非负，且其和等于1，则称该向量为概率向量。如：A=(0.30.50.2)41214132031613121B由概率向量构成的矩阵称为概率矩阵。概率矩阵有下列性质：若A、B都是概率矩阵，则AB也是概率矩阵；若A是概率矩阵，则An也是概率矩阵。正规概率矩阵若P为概率矩阵，且存在m0,使Pm的所有元素均为正(非零非负)，则P为正规概率矩阵。4.06.06.04.06.04.0105.05.001正规概率矩阵(m=1)正规概率矩阵(m=2)不是正规概率矩阵对于正规概率矩阵P和概率向量U，如果UP=U成立，则称U为P的固定概率向量。并且P只有一个固定概率向量。正规概率矩阵的固定概率向量1/20P2/11概率矩阵设P的固定概率向量为U=(x,1-x)，则由UP=U，得U=(1/3,2/3)，为P的唯一的固定概率向量。NNNNNNpppppppppPP212222111211)1(一步转移概率与转移矩阵系统由状态Ei经过一步转移到状态Ej的概率为pij，则下述N阶矩阵称为一步转移矩阵：例1k步转移概率与矩阵仍以上例，当k=2时，由状态1S经过二步转移到状态1S，可由下图表示：S1S1S2S10.70.70.30.4由状态1S经过二步转移到状态1S的概率为：61.04.03.07.07.0同理，由状态1S经过二步转移到状态2S的概率为：39.06.03.03.07.0由状态2S经过二步转移到状态1S的概率为：52.04.06.07.04.0由状态2S经过二步转移到状态2S的概率为：48.06.06.03.04.0由此，两步转移概率矩阵为：48.052.039.061.06.04.03.07.06.04.03.07.06.06.03.04.04.06.07.04.06.03.03.07.04.03.07.07.0)2(2PP可以证明：kPkP)(状态转移概率的估算一步转移概率是马尔柯夫方法应用的关键。一般地，转移概率的理论分布是未知的，但当我们具有足够样本资料时，可利用状态之间转移的频率来作为概率的估计值。即：iijijmmPimiS出现的次数为状态ijmiSjS其中是样本资料中状态转移到的次数。例2已知某一产品在过去21个月销量如下表所示。其中每月销量在150千件以上为畅销，在100千件与150千件之间为正常，低于100千件为滞销。记三种销售状态分别为：1S2S3S—滞销—正常—畅销时序(t)1234567891011销量83.485.910615413247.545.870.913912595.8状态S1S1S2S3S2S1S1S1S2S2S1时序(t)12131415161718192021销量13963.785.163.510477.8114158190106状态S2S1S1S1S2S1S2S3S3S2由表可知，滞销状态总数为:101m正常状态总数为:82m畅销状态总数为:33m并且511m051312mm0100,5.0105,5.0105131211PPP所以421m212322mm同样29.072,14.071,57.074232221PPP得031m123332mm33.031,67.032,030331231PPP(注意计算转移概率时最后一期不参加计算)写成一步转移矩阵为：3367.0029.014.057.0050.050.0P系统的稳定状态处于状态i的概率如用Si表示，则系统的状态可用下面的概率向量来表示：S=(S1，S2，……，Sn)系统的稳定状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。即：SP=S则称S为P的稳定状态概率向量。稳定状态概率向量求法)SSS(PPPPPPPPP)SSS(n21nn2n1nn22221n11211n21且S1+S2+……+Sn=1由从而有P11S1+P21S2+……+Pn1Sn=S1P12S1+P22S2+……+Pn2Sn=S2………………P1nS1+P2nS2+……+PnnSn=SnS1+S2+……+Sn=1由前n个方程中去掉一个不独立的方程，整理得10)1(0)1(2122221121221111nnnnnsssspspspspspsp即有100111111222121211121nnnppppppsss10011111212221212111nnnssspppppp矩阵形式设系统在k=0时所处的初始状态为已知，记作002010nSSSSkkkPSPSSPSPSSPSS01201201马尔柯夫预测模型knkkkSSSS21经过k次转移后所处的状态向量记为：则马尔柯夫预测模型knnnnnnkpppppppppSS2122221112110写成矩阵形式为：马尔柯夫预测法的应用条件必须将研究的问题归纳成独立的状态；要确定经过一个时期后，系统由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件：只与目前状态有关；与具体的时间周期无关；预测期间，状态的个数必须保持不变。预测步骤如果研究的问题符合上述条件，则构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进行预测。具体步骤如下：1.确定系统的状态；2.确定转移概率矩阵；3.进行预测。例3某公司将最近20个月的商品销售额统计如下，试预测第21个月的商品销售额。月数12345678销售额404580120110384050月数910111213141516销售额62901101301401205570月数17181920销售额4580110120各月商品销售额单位：万元1.划分状态按销售额多少作为划分状态的标准。状态1——滞销：销售额60万元；状态2——平销：60万元销售额100万元；状态3——畅销：销售额100万元。解：2.计算转移概率矩阵各状态出现的次数为：M1=7；M2=5；M3=8由状态i转移为状态j的次数为：M11=3；M12=4；M13=0；M21=1；M22=1；M23=3；M31=2；M32=0；M33=5。7507253515107473P3.预测因为第20月的销售属状态3，而状态3经过一步转移达到状态1、2、3的概率分别为2/7、0、5/7，P33≥P31≥P32，所以第21月仍处于状态3的概率最大，即销售额超过100万元的可能性最大。某半导体收音机厂晶体管袖珍收音机销售情况如下表，分析预测下月可能的销售量。时序（t）销量（y）时序（t）销量（y）时序（t）销量（y）183.4870.91563.5285.99138.316103.93106.110124.71777.84154.41195.818114.451321213919157.6647.51363.720190.2745.81485.121105.9练习50y10050y100y1S2S3S1063185302011S1S2S3本期状态S3S2S1合计下期状态次数从某一状态向另一状态转移的次数为：假设该产品销售量可分为如下三个状态：(1)滞销(2)正常(3)畅销1061031018583002121P313233PPP转移概率矩阵：第21期的销量为105.9千台，属于畅销状态，由此经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系：说明销量在目前状态下，经过一次转移畅销的可能性最大。故预测第22期收音机的销量将超过100台。3S市场占有率的马尔柯夫预测市场占有率在市场竞争条件下，企业向市场提供的商品份额占市场总份额的比例为企业该商品的市场占有率。设市场中提供某种商品的厂商共有n家。当前的市场占有率，即本期市场占有率为：用Pij代表经过一个时期后i厂商丧失的顾客转移到j厂商的概率，或j厂商得到由i厂商转来的顾客的概率。特别是当i=j时，Pij代表i厂商保留上期顾客的概率。这样Pij即为市场占有率的转移概率。)1()1(2)1(1)1(,,,nssss对于未来一个时期的市场占有率nn)t(n2n)t(21n)t(11)(tnn2)t(n22)t(212)t(11)(t2n1)t(n21)t(211)t(11)(t1PSPSPSSPSPSPSSPSPSPSS上式表明：对于某一厂商下期市场占有率，包括自己保留下来的顾客和从其它厂商转来的顾客两部分占有率构成。写成矩阵形式，有：nn2n1nn22221n11211)t(n)t(2)t(1)1t(n)1t(2)1t(1PPPPPPPPP)SSS()SSS(即：S（t+1）=S（t）P下期市场占有率取决于本期市场占有率和转移概率。例4有A、B、C三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为：0.52、0.30、0.18。根据市场调查情况，每1000户顾客中分别购买A、B、C三家企业产品的变化情况如表。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。ABC上月占有顾客数A31215652520B10510590300C1836126180本月占有顾客数435297268本月流动情况企业占有顾客变化情况单位：人解：1．确定初始状态以上月各企业的市场占有率为初始状态，S(0)=(0.52,0.30,0.18)2.计算转移概率70.020.00.1030.035.00.3510.030.00.60P3.计算本期市场占有率本月市场占有率S(1)=S(0)P,即：S(1)=(0.435,0.297,0.268)4.后续周期趋势预测若以本月为第一个月,则第K个月的市场占有率为S(K)=S(0)PK。如果需要进行长期趋势预测,则可以此公式计算下去。如下表预测期KSA（K）SB（K）SC（K）10.4350.2970.26820.39180.28810.320230.36790.28240.349740.35550.27910.366350.34710.27