吴赣昌编-概率论与数理统计-第3章(new)

第三章多维随机变量及其分布二维随机变量边缘分布随机变量的独立性二维随机变量的函数的分布13.1二维随机变量及其分布设S={e}是随机试验E的样本空间，X=X(e)，Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。例1.抽查某地区儿童的身高体重，设X=身高，Y=体重，则(X,Y)是一个二维随机变量。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论X和Y的性质是不够的，需要把(X,Y)作为一个整体来讨论。随机变量X常称为一维随机变量。一、二维随机变量2一维随机变量X——R1上的随机点坐标；二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标；……n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标。多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。3定义2设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x，y，二元实值函数F(x,y)=P({Xx}∩{Yy})P(Xx,Yy)x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称X与Y的联合分布函数。F(x,y)即为事件{Xx}与{Yy}同时发生的概率。二、二维随机变量的联合分布函数@4几何意义：若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在(x0,y0)处的函数值F(x0,y0)就表示随机点(X,Y)落在区域-∞＜X≤x0，-∞＜Y≤y0中的概率。如图阴影部分：(x0,y0)xyO5对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2)，则随机点(X,Y)落在矩形区域[x1Xx2，y1Yy2]内的概率可用分布函数表示为P(x1Xx2，y1Yy2)＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)(x1,y1)(x2,y2)Ox1x2xy1y2y6分布函数F(x,y)具有如下性质：0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)对任意(x,y)R2,0F(x,y)1。(2)单调不减：F(x,y)是变量x或y的非降函数，即对任意yR,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意xR,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2)。(3)归一性：7),(),(lim),0(000yxFyxFyxFxx),(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy(4)右连续：函数F(x,y)关于x是右连续的，关于y也是右连续的，即对任意xR，yR，有(5)不等式：对于任意(x1,y1)，(x2,y2)R2，(x1x2，y1y2)，F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0。反之，任一满足上述五个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。8三、二维离散型随机变量及其分布1、二维离散型随机变量若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限多对或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。2、联合分布律设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有可能取值为(xi,yj)，i=1,2,…，j=1,2,…。若(X,Y)取数对(xi,yj)的概率P(X=xi,Y=yj)=pij，满足(1)pij≥0；(2)111ijijp则称P(X=xi,Y=yj)=pij，i=1,2,…，j=1,2,…为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或联合概率分布。9二维离散型随机变量的分布律也可用表格形式表示为：YXy1y2...yj...x1p11p12...p1j...x2p21p22...p2j.....................xipi1pi2...pij.....................其分布函数为yyxxijjipyxF),(10例3.1设袋中有a+b个球，a只红球，b只白球。今从中任取一球，观察其颜色后将球放回袋中，并再加入与所取的球相同颜色的球c只，然后再从袋中任取一球，设第一次所取的球为白球第一次所取的球为红球01X第二次所取的球为白球第二次所取的球为红球01Y求二维随机变量(X,Y)的分布律。解X的可能取值为0，1，Y的可能取值为0，1。cbacabaaXYPXPYXP)11()1()1,1(cbabbaaXYPXPYXP)1|0()1()0,1(cbaababXYPXPYXP)01()0()1,0(cbacbbabXYPXPYXP)00()0()0,0(11例3.2袋里有5个有编号的球，其中有1个球编号为1，有2个球编号均为2，有2个球编号均为3。每次从中任取两个球，以X和Y分别表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。求X和Y的联合分布律。解(X,Y)的全部可能取值为(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5个球从中任取2个，共有C52=10种取法。试验样本点总数为10，2.0102)2,1(251211CCCYXP2.0102)3,1(251211CCCYXP1.0101)2,2(2522CCYXP4.0104)3,2(251212CCCYXP1.0101)3,3(2522CCYXP用表格表示为YX2310.20.220.10.4300.112四、二维连续型随机变量及其密度函数1、定义设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使对任意实数x，y有xydudvvufyxF),(),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量，且称函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)~f(x,y)，(x,y)R2132、联合密度f(x,y)的性质(1)非负性：f(x,y)0，(x,y)R2;(2)归一性：2(,)(,)Fxyfxyxy(3)若f(x,y)在(x,y)处连续，则有事实上(,)(,)(,)yyxFxyfstdtdsfxtdtxx2(,)(,)(,)yFxyfxtdtfxyxyy(,)1(,)fxydxdyF－－14GdxdyyxfGYXP),(),((4)设G是平面上一个区域，则二维连续型随机变量(X,Y)落在G内的概率是概率密度函数f(x,y)在G上的积分，即设101,01(,)~(,)0xyXYfxy其它求:P{XY}1001{}[1]2xPXYdydx1521,bxaxfxydydx21,dycyfxydxdy21,bxaxdxfxydy或记为21,dycydyfxydx或记为利用直角坐标系计算二重积分,Dfxydxdy1、,Dfxydxdy2、X-型区域Y-型区域abxyoDcdDyxo16例3.3设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为其它010),(2yxykxyxf(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y≤1)。解(1)1),(dxdyyxf10121)(xdxydykx101:xyxD10421)2121(dxkxkx1)10161(1053kxkx解得k=1521012115),()1(dxydyxdxdyyxfYXPxxyx64519215O1x1yy=xx+y=12101:xxyxD(2)17例3.4设二维随机变(X,Y)量具有概率密度其它01),(22yxyCxyxf(1)确定常数C；(2)求概率P(XY)。Oxy=x2y=xy解(1)1),(dxdyyxf111212dxydyCxx421C(2)确定积分区域xxydyxdxYXP2203421)(21010:21xxyxD111:2xyxD184.2边缘分布1、二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有联合分布函数F(x,y)，而X和Y都是随机变量，各自也有它们的分布函数，记X的分布函数为FX(x)，称为随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；Y的分布函数为FY(y)，称为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数。由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系()(,)()(,)XFxFPXxPXxYx()(,()(,))YFyFPYyyyPXY19边缘分布的几何意义FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域内的概率；FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区域内的概率。OxxOxyyy202、二维离散型随机变量的边缘分布律由(X,Y)的联合分布律P(X＝xi,Y＝yj}＝pij，i,j＝1,2,…11),()(,)(jjijjiiyYxXPyYUxXPxXP1jiijppi＝1,2,…11),(),()(ijijiijyYxXPyYxXUPyYP1ijijppj＝1,2,…其中pi.和p.j分别为表示的记号。1jijp1iijp它们分别是事件(X=xi)和(Y=yj)的概率，且有pi.≥0，1111iijijippp.j≥0，1111jjiijjpp21称P(X＝xi)＝pi.，(i＝1,2,…)为二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律；称P(Y＝yj)＝p.j，(j＝1,2,…)为二维离散型随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律。以表格形式表示为YXy1y2…yj…P(X=xi)x1p11p12…p1j…x2p21p22…p1j……………………xipi1pi1…pij……………………P(Y=yj)……1111iipp122iipp1iijjpp111jjpp221jjpp1iijjpp22例3.7已知(X,Y)的分布律为故关于X和Y的边缘分布律分别为：求X、Y的边缘分布律。YX1011/103/1003/103/10YX10pi·11/103/102/503/103/103/5p·j2/53/5X10P2/53/5Y10P2/53/5解23例3.8设随机变量(X,Y),X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个Y在1至X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律。解事件(X=i,Y=j)中i的取值为1、2、3、4，而j取不大于i的整数，因此11(,)()()4PXiYjPXiPYjXiii=1,2,3,4，j≤iijiiiiXP1414141)(441)(jiijYPi=1,2,3,4j=1,2,3,4YX1234pi•11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p•j25/4813/487/483/48X和Y的边缘分布律分别为X1234P1/4