余弦定理习题课参考教案

§1．1．2余弦定理授课类型：习题课【教学目标】1．掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。2．较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。【教学重、难点】重点：熟练应用余弦定理。难点：解三角形，判断三角形的形状。【教学过程】【知识梳理】1.余弦定理：(1)形式一：Acosbc2cba222；Bcosac2cab222；Ccosab2bac222.形式二：bc2acbAcos222；ac2bcaBcos222；ab2cbaCcos222.（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形ABC中222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC是锐角三角形4.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【典例应用】题型一根据三角形的三边关系求角例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角.解：∵asinA＝bsinB＝csinC＝k∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(3+1)∶(3－1)∶10设a＝(3＋1)k，b＝(3－1)k，c＝10k(k＞0)则最大角为＝a2＋b2－c22ab＝(3＋1)2＋(3－1)2－1022×(3＋1)(3－1)＝－12∴C＝120°.评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。[变式训练1]在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A()A．090B．060C．0135D．0150解：22()()3,()3,abcbcabcbcabc222222013,cos,6022bcabcabcAAbc答案：B题型二：题型二已知三角形的两边及夹角解三角形例2.在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程02322xx的两根，1cos2BA。（1）求角C的度数；（2）求AB的长；（3）求△ABC的面积。评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。[变式训练]1在△ABC中，60,16,2203,AACSBC面积求的长2.钝角△ABC的三边长为连续的自然数，求三边的长。题型三：判断三角形的形状例3.在ABC中，若2222sinsin2coscosbCcBbcBC，试判断ABC的形状.解：方法一：由正弦定理和已知条件得：2222sinsinsinsin2sinsincoscosBCCBBCBC，∵sinsin0BC，∴sinsincoscosBCBC，即cos()0BC，∵B、C为ABC的内角，∴90BC，90A故ABC为直角三角形.方法二：原等式变形为：2222(1cos)(1cos)2coscosbCcBbcBC，即：222222coscos2coscosbcbCcBbcBC，由余弦定理得：222222222222222222()()22222abcacbacbabcbcbcbcabacacab2222222222[()()]4abcacbbca222bca故ABC为直角三角形.评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。[变式训练2]1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解：由2cosBsinA=sinC得acbca222×a=c，∴a=b.答案：C2.在ABC中，bAaBcoscos，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解：由余弦定理可将原等式化为：bbcabcaacbac22222222即，2222baab答案：C[典例训练]1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc等于（）A．1B．1C．32D．322．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．AsinB．AcosC．AtanD．Atan13．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A．2B．23C．3D．325．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（）A．006030或B．006045或C．0060120或D．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．090B．0120C．0135D．01507.在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？8．在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba9．在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。10．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。[课堂小节]：熟练应用余弦定理解三角形，判断三角形的形状。[课下作业]：[典例训练]部分的5、7、10