第一章 偏好、效用与消费者的基本问题

2020/6/301第一章偏好、效用与消费者基本问题2020/6/302§1.消费集与偏好关系欲望与需求：需求三要素交易成本偏好价格收入预算集2020/6/303一、消费集是指消费者在进行消费时所能选择的商品的范围（或称选择域），也称为消费束。它可以用一个n元商品组合的向量描述，记为X，在数学上x为n维欧式空间上的一点。消费集可表示为：12R,,,:R,0,1,2,,,xRnnniixxxxxinnRX2020/6/304消费集的性质（1）消费集是商品空间的子集，但不是空集nRX2020/6/305（2）消费集X是连续的即消费者的任意消费束都存在于消费集中，而且，由于特定的消费组合构成的消费束有无穷多个，填充了整个消费集空间，故假定消费集连续是合理的。这个假定通常用X是闭集表示。或者说，消费集中的所有的极限点都包含在该集之中，因此，X是连续的。2020/6/306（3）消费集是凸集凸集的数学表示形式：12(1)nxxXR111112(,,,)nxxxxX222212(,,,)nxxxxX则对01即任意两个消费计划的线性组合仍包含在该消费集内。2020/6/307xy(1)zxy凸组合2020/6/308yx(1)xy凸集偏好X1x2xO2020/6/309yx(1)xy非凸集偏好X2020/6/3010（4）消费集的下限指消费者可以不消费0X2020/6/3011二、偏好与效用1.偏好的定义在一个消费中，两个消费束哪个更受到消费者的偏好，使得消费者在心理上对那个消费方案更加趋向。偏好关系有以下几个：没有差别；严格的偏好关系和弱偏好关系。2020/6/30122.偏好关系的公理（1）偏好关系的完备性：这就是说，任意两个消费束之间是可以进行比较的。12xx对于任意X中有：12xx12xx2020/6/3013（2）偏好关系的自反性：一个消费束至少应当与其自身一样好。（3）偏好关系的传递性：即消费偏好的心理顺序在短期具有一定的稳定性。xXxx2020/6/3014（4）偏好的连续性：偏好不应具有“跳跃”，即偏好不发生突发性的逆转。对于所有的nxR“至少一样好”集与“非优于”集都是闭于。nRxx2020/6/3015含义:消费者对于任一特定的消费计划x0都是不会满足的。nRx000xxnRxBx)(0对于所有的，对于所有的，都存在某个消费计划，使得。··0xxnR（5）偏好的局部非饱和性，或称局部非餍足性：即对于任意的消费都不存在充分的满足。2020/6/3016（6）偏好的强单调性：即消费者总是偏好更多的商品，或者在心理上反映为多多益善。011010,,,;nxRxxxx对于所有的x如果则1010,;xxxx但如果则0x1x2x1x2x2020/6/3017（7）偏好的凸性与严格凸性：凸性：即任意两个消费束的线性组合至少应当与原来的消费束中的偏好一样好。10100,(1)xxxx如果则对于所有的[0,1],都有x1x1x2x2xxa.注意λ的定义域。b.凸性表示无差异集不可能有凹向原点的线段，为什么？2020/6/3018严格凸性：1010100,((1)xxxxx如果且x,则对于所有的0,1),都有x1x1x2x2xx0x试证明凸性和严格凸性表示无差异曲线可能凸向原点。2020/6/3019一、效用函数效用函数刻画了满足水平与所消费的商品之间的关系。函数可以表示为：若个人的偏好是完备的、自反的、传递的、连续的和强单调性，则存在一个连续单调的效用函数。12(,,)nufxxx§2.效用函数2020/6/3020效用函数与偏好关系:,nuRR一个实函数在下列条件下被称为代表偏好关系的函数.010101,)(),nxxxuxxx对于所有的R,u(当且仅当效用函数偏好关系2020/6/3021二、效用函数的导数：边际效用效用函数的一阶偏导数称为边际效用。边际效用是新增一个单位商品的消费所增加的总效用。戈森认为边际效用随着商品数量的增加而不断减少，以后被称为戈森第一定理。()iux2020/6/3022三、无差异曲线表示在二维平面上，消费者有商品x和y组成的任意数量组合上所得到的效用水平不存在差异。无差异曲线具有以下性质：是凸向原点；距离原点越远代表的效用水平越高；不同的无差异曲线两两不能相交。2020/6/3023()uxa,()LxRuxa2020/6/3024O0x1x3()uxa2()uxa1()uxa不同水平的等效用曲线2020/6/30251A2A2U1U3A不存在相交的无差异曲线2020/6/3026四、边际替代率是在保证效用水平不变的条件下，消费者对于所消费的商品束的替代关系。2020/6/30271x2xAB1x2xO两类商品的边际替代率2020/6/3028对于效用函数为：u(x1,f(x1))=c来说2121212121,2121,2121012dxuuxxdxdxuuxxdxdxdxdxuuxxdx定义商品对于商品的边际替代率为，记为MRS所以，MRS2020/6/3029ABO1x2xB2020/6/3030§3.消费者的基本问题一、预算集满足消费者预算约束的集合，又被称为可行消费集，它决定了预算的上边界。它由物品价格和收入水平组成。价格向量：12p(,,,),0,1,2,,.nippppin消费向量：12x(,,,),0,1,2,,.nixxxxin一般假定，个别消费者的购买行为不影响价格水平，故p设为固定。2020/6/3031消费者的预算集可表示为：1{|,}nniiiBxxRpxpxy简单地21122,BxRpxpxy2020/6/3032预算集的性质预算线满足零次齐次性：即当收入与价格都以同样的比例t变化时，预算集保持不变。预算集是一个凸集，即任意两个消费束中的凸组合仍然在这个预算集中。Bx|R,pxx|R,pxnnttww012x(1)xx2020/6/30331x2xBa*1x2yp1yp12pp（1）预算线的斜率。（2）预算线表示消费者的选择空间。预算集与预算线2020/6/3034二、效用最大化基本问题最优的消费束可以表示为：对于所有的价格和财富水平都是单值时，则称为瓦尔拉斯需求函数，或称为马歇尔需求函数，记为xxmax()s.tpxmax()s.tpx=uXyuXy等价于：x(p,y)Rnx=x(p,y),i=1,2......nii2020/6/3035121122max(,)..uuxxstpxpxy二维时在约束条件下求最大的效用值构造拉格朗日函数12121122(,,)(,)Lfxxuxxypxpx2020/6/30361112221122000LupxxLupxxLypxpx运用最大化一阶条件，可以得到：112122uxpuuppxxuxp12解得，相除得，2020/6/3037AEBO消费者基本问题的图示2020/6/3038三、效用函数的单调变换当u1u2意味着f(u1)f(u2)时，则称f(u)为原效用函数的单调变换。2020/6/3039常见的单调变换的例子：1.对原效用函数乘上一个正数；2.对原效用函数加上任意一个数；3.对原效用函数取奇次幂；4.指数函数和对数函数互为单调变换函数。