统计决策

1统计决策第一节统计决策的基本概念第二节完全不确定性的决策第三节一般风险型决策第四节贝叶斯决策2第一节统计决策的基本概念一、什么是统计决策二、统计决策的基本步骤三、收益矩阵表3一、什么是统计决策所谓决策就是在占有一定信息的基础上，利用各种方法，对影响特定目标的各种因素进行计算和分析，从而选择关于未来行动的“最佳方案”和“满意方案”的过程。广义的统计决策是所有利用统计方法和统计信息的决策。狭义的统计决策方法是一种研究非对抗型和非确定型决策问题的科学的定量分析方法。本章只扼要的介绍狭义的统计决策。4二、统计决策的基本步骤一个完整的统计决策过程，包括以下几个基本步骤：（一）确定决策目标决策目标就是在一定条件制约下，决策者下望达到的结果。它由所研究的问题决定，决策目标需要准确、简明、可测。（二）拟定备选方案备选方案是实现目标的各种可能途径，一般两个以上。所有被选方案称为行动空间。拟定备选方案需要充分调研。（三）列出自然状态自然状态(简称状态)就是指实施行动方案时，可能面临的客观条件和外部环境。所有可能出现的状态的集合称为状态空间，而相应的各种状态可能出现的概率的集合称为状态空间的概率分布。5（四）测算结果测算不同方案在各种状态下可能实现的目标变量值，利用结果构成结果空间。（五）选择“最佳”或“满意”的方案（六）实施方案根据选择的最佳方案，实施方案。在实践中将行动遇见的问题及时反馈给决策者。如果实施结果出乎意料，或者自然状态发生重大变化，应暂停实施，并及时修正方案，重新决策。6三、收益矩阵表收益矩阵表是求解统计决策问题的重要工具。其基本形式如表9-1所示。收益矩阵表由以下几部分组成：（一）行动空间；（二）状态空间；（三）状态空间的概率分布；)a,,a,(a=An21),,(=n21,θθθ)10≥)((=∑121nj=jjn=P,P,P,,PPP7（四）收益矩阵收益矩阵的元素qij反映在状态θj下，采用行动方案ai得到的收益值（结果）。这里所说的收益是广义的，凡是能作为决策目标的指标都可以称为收益。收益是行动方案和自然状态的函数，可用下式表示：qij=Q(ai,θj)i=1,2,…,m;j=1,2,…n(9.1)=212222111211nnnnnnqqqqqqqqqQ8表9-1收益矩阵表状态θ1θ2…θn概率P1P2…Pn方案a1a2…amq11q12…q1nq21q22…q2n…………qm1qm2…qmn9【例9-1】一家酿酒厂就是否推出一种新型啤酒的问题进行决策分析。拟采取的方案有三种：一是进行较大规模的投资，年生产能力为2500万瓶，其每年的固定成本费用为300万元；二是进行较小规模的投资，年生产能力1000万瓶，其每年的固定成本费用为100万元；三不推出该种啤酒。假定在未考虑固定费用的前提下，每售出一瓶酒，均可获纯利0.3元。据预测，这种啤酒可能的年销售量为：50万瓶、1000万瓶和2500万瓶，这三种状况发生的概率分别为：0.2、0.3、0.5。试编制该问题的收益矩阵表。10解：首先分别计算不同状态下采用不同方案可能带来的收益例如，当需求量大（年销售2500万瓶）时，方案一的收益为：0.32500-300=450万元；方案二的收益为：0.31000-100=200万元；方案三的收益为：0其他状态的收益计算方法相同，过程不一一列出。在以上计算的基础上，可编制如下收益矩阵表。表9-2啤酒投资的收益矩阵表单位：万元状态需求大需求中需求小概率0.50.30.2方案方案一方案二方案三4500－285200200－8500011第二节完全不确定型决策一、完全不确定型决策的准则二、各种准则的特点和适用场合12一、完全不确定型决策的准则（一）最大的最大收益值准则该准则又称乐观准则或“好中求好”准则。其特点是决策者对未来形势比较乐观。在决策时，先选出各种状态下每个方案的最大收益值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择的方案。该准则的数学表达式为：(9.2)式中，a*是所要选择的方案。ijjiqMaxMaxa*13（二）最大的最小收益值准则该准则又称悲观准则或“坏中求好”准则。它正好与乐观准则相反，决策者对未来形势比较悲观。在决时，先选出各种状态下每个方案的最小收益值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择的方案。该准则的数学表达式为：(9.3)式中，a*是所要选择的方案。ijjiqMinMaxa*14【例9-2】假设例9-1中,有关市场状态的概率完全不知道，试根据最大的最大收益值准则和最大的最小收益值准则进行决策。解：（1）例9-1中，方案一在各种状态下的最大收益为450万元，方案二在各种状态下的最大收益为200万元，方案三在各种状态下的最大收益为0，根据最大的最大收益值准则，应选择方案一。（2）例9-1中，方案一在各种状态下的最小收益为-285万元，方案二在各种状态下的最小收益为-85万元，方案三在各种状态下的最小收益为0，根据最大的最小收益值准则，应选择方案三。15（三）最小的最大后悔值准则后悔值又称机会损失值，即由于决策失误而造成的其实际收益值与最大可能的收益值的差距。方案ai在状态θj下的后悔值，可按下式计算：(9.4)式中，Q(ai,θj)是在第j种状态下，正确决策有可能得到的最大收益，qij是收益矩阵的元素。如果实际选择的方案正好是这种状态下的最优方案,则后悔值为0；如果实际选择的方案不如最优方案，决策者就会感到后悔。后悔值越大表明所选的方案与最优方案差距越大。显而易见，rij≥0。最小的最大后悔值准则的数学表达式为：(9.5)ijjiiijqaQMaxr),(ijjirMaxMina*16【例9-3】假设例9-1中,有关市场状态的概率完全不知道，试求出后悔矩阵并根据最小的最大后悔值准则进行决策。解：(1)在市场需求大的情况下,采用方案一可获得最大收益,故有:在市场需求中的情况下，采用方案二可获得最大收益，故有:在市场需求小的情况下，采用方案三可获得最大收益，故有:将其代入(9.4)式，可求得以下后悔矩阵（参见表9-3）。(2)由表9-3可知：方案一的最大后悔值为285万元，方案二的最大后悔值为250万元，方案三的最大后悔值为450万元。根据最小的最大后悔值准则，应选择方案二。450),(1iiaQMax200),(2iiaQMax0),(3iiaQMax17表9-3某项投资的后悔矩阵表单位：万元状态需求大需求中需求小方案方案一方案二方案三0250450200020028585018（四）折衷准则该准则认为，对未来的形势既不应盲目乐观，也不应过分悲观。主张根据经验和判断确定一个乐观系数δ（0≤δ≤1），以δ和1-δ分别作为最大收益值和最小收益值的权数，计算各方案的期望收益E(Q(ai))(9.6)以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。该准则的数学表达式为：(9.7)ijiijiiqMinqMaxaQE)1())(())((*iiaQEMaxa19【例9-4】假设例9-1中,有关市场状态的概率不知,根据经验判断的乐观系数为0.6,试根据折衷准则进行决策。解：将有关数据代入（9.6）式，可得：E(Q(a1))=0.6×450+(1－0.6)(-285)=156E(Q(a2))=0.6×200+(1－0.6)(－85)=86E(Q(a3))=0.6×0+(1－0.6)×0=0因为在可选择的方案中，方案一的期望收益值较大，所以根据折衷原则，应选择方案一.20（五）等可能性准则该准则认为：既然我们不知道未来各种状态出现的可能性有多大，那么不妨假定其发生的概率相等。在此基础上求各方案收益的期望值，并以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。该准则的数学表达式为：a*=MaxE(Q(ai))(9.8)(i=1,2,---,m)(9.9)njjiiqnaQE1,1))((21【例9-5】假设例9-1中,有关市场状态的概率不知,试根据等可能性准则进行决策。解：将有关数据代入（9.9）式，可得：E(Q(a1))=1/3(450+0-285)=55E(Q(a2))=1/3(200+200–85)=105E(Q(a3))=1/3(0+0+0)=0因为，按(9.9)式计算的方案二的期望收益值最大，所以按等可能性准则，应选择方案二。22二、各种准则的特点和适用场合在实际决策时，为了减少决策者的偏好和主观随意性。提高决策的科学性，减少盲目性，在选用准则时，应注意分析各种准则隐含的假定和决策时的各种客观条件。（一）最大收益值准则只有在客观情况确实很乐观,或者即使决策失误，也完全可以承受损失的场合才采用。（二）最小收益值准适用于对未来的状态非常没有把握，或者难以承受决策失误损失的场合.23（三）最大后悔值准则适用于不愿放过较大的获利机会，同时又对可能出现的损失有一定承受力的场合。（四）折衷准则事实上是假定未来可能发生的状态只有两种：即最理想状态和最不理想状态。前者发生的概率是，后者发生的概率是(1-δ)。当δ=1时，该准则等价于乐观准则，而当δ=0时，该准则等价于悲观准则。实际应用该准则时，应根据风险的大小、对未来状态的预计以及对决策失误的承受力，调整δ的赋值。（五）等可能性准则事实上是假定各种状态出现的概率相等。该准则只适用于对未来各种状态发生的可能性完全心中无数的场合。24第三节一般风险型决策一、自然状态概率分布的估计二、风险型决策的准则三、利用决策树进行风险型决策25一、自然状态概率分布的估计一般风险型决策中，所利用的概率包括客观概率与主观概率。客观概率是一般意义上的概率可来源于频率估计，通常是由自然状态的历史资料推算或按照随机实验的结果计算出来的。主观概率是基于自身的学识、经验做出的对某一事件发生的可能性的主观判断。26二、风险型决策的准则（一）期望值准则以各方案收益的期望值的大小为依据，来选择合适的方案。(i=1,2,---,m)(9.10)（二）变异系数准则当出现两个方案收益的期望值相差不大的情况时，可以进一步用变异系数作为选择方案的标准，以变异系数较低的方案作为所要选择的方案。变异系数准则必须在期望值达到一定数额的前提下，才能运用，否则可能得出不正确的结论。方差Var(ai)和变异系数V的计算公式如下：(i=1,2,…,m)(9.9)(i=1,2,…,m)(9.12)njjjiiPqaQE1,))((njjijiiipaQqaQEaVar12,))(E())(()())(E()(iiiaQaVarV27【例9-6】试利用例9-1中给出的收益矩阵表的资料，根据期望值准则和变异系数准则选择最佳的投资方案.解：（1）将有关数据代入（9.10）式，可得：E(Q(a1))=450×0.5+0×0.3－285×0.2=168E(Q(a2))=200×0.5+200×0.3－85×0.2=143E(Q(a3))=0×0.5+0×0.3+0×0.2=0（2）E(Q(a3))=0，可以从备选方案中排除。方案一和方案二的期望值虽有差别，但差别不是很大，所以再计算变异系数，帮助判断。将有关数据代入(9.11)式和(9.12）式，可得：Var(a1)=(450-168)2×0.5+(0-168)2×0.3+(-285-168)2×0.2=89271Var(a2)=(200-143)2×0.5+(200-143)2×0.3+(-85-143)2×0.2=12996所以，如果单纯根据收益期望值大小为标准，应选择方案一;如果将收益的期望值和方差结合在一起考虑，选择方案二比较合适。778.1168/892711V7972.0143/129962V28（三）最大可能准则该准则主张以最可能状态作为选择方案时考虑的前提条件。所谓最可能状态，是指在状态空间中具有最大概率的那一状态。按照最大可能准则，在最可能状态下，可实现最大收益值的方案为最佳方案。最大可能准则是将风险条件下的决策问题，简化为确定条件下的决策问题。只有当最可能状