统计决策与贝叶斯估计

参数估计30August2019第1页1、统计决策一、统计决策的三个要素1样本空间和分布族设总体X的分布函数为F(x;),是未知参数，若设X1,…,Xn是来自总体X的一个样本，则样本所有可能值组成的集合称为样本空间，记为X为样本的概率分布族则称记联合分布函数*1*1,}),;({),;();(FxFFxFxFniinii参数估计30August2019第2页2决策空间（判决空间）对于任何参数估计，每一个具体的估计值，就是一个回答，称为一个决策，一个统计问题中可能选取的全部决策组成的集合称为决策空间，一个决策空间至少应有两个决策。3损失函数统计决策的一个基本假定是，每采取一个决策，必然有一定的后果，统计决策是将不同决策以数量的形式表示出来称为损失函数的二元函数和决策引入一个依赖参数,0),(,dLd参数估计30August2019第3页常见的损失函数有以下几种（1）线性损失函数绝对损失函数（2）平方损失函数（3）凸损失函数（4）多元二次损失函数ddkddkdL),(),(),(10||),(ddL2)(),(ddL|)(|)(),(dWdL)()(),(dAddLT参数估计30August2019第4页二、统计决策函数及风险函数1统计决策函数定义3.1：定义在样本空间上X，取值于决策空间A内的函数d(x)，称为统计决策函数，简称决策函数决策函数就是一个行动方案，如果用表达式处理，d(x)=d(x1,x2,…xn)本质上就是一个统计量参数估计30August2019第5页2风险函数决策函数d(X)，完全取决于样本，损失函数L(,d)也是样本X的函数,当样本取不同的值x时，决策d(X)可能不同，所以损失函数值L(,d)也不同，不能判断决策的好坏，一般从总体上来评价、比较决策函数，取平均损失，就是风险函数定义3.2设样本空间，分布族分别为X，F*，决策空间为A，损失函数为L(,d),d(X)为决策函数,为决策函数d(X)的风险函数，R(,d),表示采取决策d(X)所蒙受的平均损失（L(,d)的数学期望）))](,([),(XdLEdR参数估计30August2019第6页优良性准则定义3.3设d1,d2是统计问题中的两个决策函数，若其风险函数满足不等式则称决策函数d1优于d2),,(),(21dRdR等价则称若2121,,),,(),(dddRdR),,(),(21dRdR等价则称若2121,,),,(),(dddRdR参数估计30August2019第7页定义3.4设D={d(X)}是一切定义在样本空间X上，取值于决策空间A上的决策函数全体，若存在一个决策函数d*(X)，使对任意一个d(X)都有则称d*(X)为一致最小风险决策函数，或一致最优决策函数DdddRdR**,,),,(),(参数估计30August2019第8页,),,(),1,(~:1估计未知参数设总体例NX22)()],([),(,)()(),(::dEdLEdRXdddL风险函数为的任一估计则对选取损失函数为解,)())(()(),(:,))((,)(2的方差即风险函数为估计量则风险函数为即是无偏估计若要求XdXdDEddEdRXdEXd111,,1,1),(,)(1),(,)(XXnDXdRXXdnXDdRXXd优于后者的风险比前者大时当显然则若取则若取参数估计30August2019第9页风险不同时当显然则若取则若取则风险函数为即是无偏估计若要求风险函数为的任一估计则对选取损失函数为估计未知参数设总体例,1,),(,)(),(,)())(()(),(:,))((,)()()],([),(,)()(),(:,),;(~211222nDXdRXXdnXDdRXXdXdDEddEdRXdEXddEdLEdRXdddLxPX参数估计30August2019第10页问题总结1风险函数是二元函数，极值往往不存在或不唯一2在某个区间内的逐点比较不现实（麻烦）3对应不同参数的，同一决策函数，风险值不相等4由统计规律的特性决定不能点点比较5必须由一个整体指标来代替点点比较参数估计30August2019第11页2.贝叶斯估计1)统计推断的基础经典学派的观点：统计推断是根据样本信息对总体分布或总体的特征数进行推断，这里用到两种信息：总体信息和样本信息；贝叶斯学派的观点：除了上述两种信息以外，统计推断还应该使用第三种信息：先验信息。参数估计30August2019第12页（1）总体信息:总体分布提供的信息。（2）样本信息:抽取样本所得观测值提供的信息。（3）先验信息:人们在试验之前对要做的问题在经验上和资料上总是有所了解的，这些信息对统计推断是有益的。先验信息即是抽样（试验）之前有关统计问题的一些信息。一般说来，先验信息来源于经验和历史资料。先验信息在日常生活和工作中是很重要的。参数估计30August2019第13页基于上述三种信息进行统计推断的统计学称为贝叶斯统计学。它与经典统计学的差别就在于是否利用先验信息。贝叶斯统计在重视使用总体信息和样本信息的同时，还注意先验信息的收集、挖掘和加工，使它数量化，形成先验分布，参加到统计推断中来，以提高统计推断的质量。忽视先验信息的利用，有时是一种浪费，有时还会导出不合理的结论。参数估计30August2019第14页贝叶斯学派的基本观点：任一未知量都可看作随机变量，可用一个概率分布去描述，这个分布称为先验分布；在获得样本之后，总体分布、样本与先验分布通过贝叶斯公式结合起来得到一个关于未知量新的分布—后验分布；任何关于的统计推断都应该基于的后验分布进行。参数估计30August2019第15页2)先验分布利用先验信息的前提（1）参数是随机的，但有一定的分布规律（2）参数是某一常数，但无法知道目标：充分利用参数的先验信息对未知参数作出更准确的估计。贝叶斯方法就是把未知参数视为具有已知分布的随机变量，将先验信息数字化并利用的一种方法，一般先验分布记为()参数估计30August2019第16页3)贝叶斯公式的密度函数形式(后验分布）设总体X的分布密度函数P(x;)在贝叶斯统计中记为P(x|)，它表示在随机变量θ取某个给定值时总体的条件概率密度函数；P(x;)=P(x|)根据参数的先验信息确定先验分布()；样本x1,x2,…,xn的联合条件分布密度函数为这个分布综合了总体信息和样本信息；niixpxq1)|()|(参数估计30August2019第17页0是未知的，它是按先验分布()产生的。为把先验信息综合进去，不能只考虑0，对的其它值发生的可能性也要加以考虑，故要用()进行综合。这样一来，样本x1,…,xn和参数的联合分布为:f(x1,x2,…,xn,)=q(x1,x2,…,xn)()，简记为f(x,)=q(x)()这个联合分布把总体信息、样本信息和先验信息三种可用信息都综合进去了；参数估计30August2019第18页在有了样本观察值x1,x2,…,xn之后，则应依据f(x,)对作出推断。由于f(x,)=h(x1,x2,…,xn)m(x1,x2,…,xn)，其中m(x1,x2,…,xn)是x1,x2,…,xn的边际概率函数，它与无关。因此能用来对作出推断的仅是条件分布h(x1,x2,…,xn)，它的计算公式是dxqxqxmxfxh)()|()()|()();()|(参数估计30August2019第19页这个条件分布称为的后验分布，它集中了总体、样本和先验中有关的一切信息。后验分布h(x1,x2,…,xn)的计算公式就是用密度函数表示的贝叶斯公式。它是用总体和样本对先验分布()作调整的结果，贝叶斯统计的一切推断都基于后验分布进行。参数估计30August2019第20页4）共轭先验分布定义：设总体X的分布密度为p(x|),F*为的一个分布族，()为的任意一个先验分布，()∈F*,若对样本的任意观测值x,的后验分布h(|x)仍在F*内，称F*为关于分布密度p(x|)的共轭先验分布族，简称共轭族。计算共轭先验分布的方法参数估计30August2019第21页当给定样本的分布（似然函数）q(x|)和先验分布()；由贝叶斯公式得h(x|)=()q(x)/m(x)由于m(x)不依赖于,改写为h(x|)∝()q(x)上式不是正常的密度函数,是h(x|)的主要部分,称为h(x|)的核参数估计30August2019第22页例8X1,X2,…,Xn来自正态分布N(,2)的一个样本，其中已知，求方差2的共轭先验分布])(21exp[)1(])(21exp[)2(1)|(),,,(2122/2212221niinniinTnxxxqXXX的似然函数为分布）为倒](exp[)1()()(2122参数估计30August2019第23页例9X1,X2,…,Xn来自二项分布B(N,)的一个样本，求的共轭先验分布11121)1(),,()1()1()|(),,,(11其核为分布所以的先验分布为贝塔的似然函数为BeCxqXXXniiniiiiixnNxnixNxxNTn参数估计30August2019第24页计算共轭先验分布的方法1.h(|x)=()q(x|)/m(x),m(x)不依赖于先求出q(x|),再选取与q(x|)具有相同形式的分布作为先验分布，就是共轭分布2.当参数存在适当的统计量时，设X的分布密度为p(x|),T(X)是的充分统计量,][),,,();()|(121因子分解ninixxxhTgxp再由定理3.1，求得共轭先验分布族参数估计30August2019第25页定理3.1设f()为任一固定的函数,满足因子分解定理）（其中是共轭分布族则),()|()|(2,1;)()|()()|()()|(0)2(,0)()1(1xhtgxpndftgftgDdftgfnininnfn参数估计30August2019第26页若后验分布h(x)与()属于同一个分布族，则称该分布族是的共轭先验分布(族)。二项分布b(n,)中的成功概率的共轭先验分布是贝塔分布Be(a,b)；泊松分布P()中的均值的共轭先验分布是伽玛分布Γ(,)；指数分布中均值的倒数的共轭先验分布是伽玛分布Γ(,)；在方差已知时，正态均值的共轭先验分布是正态分布N(,2);在均值已知时，正态方差2的共轭先验分布是倒伽玛分布IΓ(,)。参数估计30August2019第27页5）贝叶斯风险定义：称为决策函数d(X)在给定先验分布()下的贝叶斯风险，简称d(X)的贝叶斯风险ddRdREdRdxxqxdLXdLEdRBx)(),()),(()()|())(,())(,((),(的期望的关于风险函数参数估计30August2019第28页xBxxxBxhxdLxmdRdxdxhdLxmdxdxhxmdLdxdxqdLddRdR)}|())(,(){()(})|(),(){()|()(),()()|(),()(),()(离散型随机变量为相当于随机损失函数求两次期望