第11章 结构的稳定计算-丁幼亮

第11章结构的稳定计算工程中的“失稳”现象11.1稳定问题的基本概念11.1.1三种不同性质的平衡设体系受到微小干扰后偏离平衡状态，按照干扰撤销后体系的不同“表现”，体系平衡可分为三种：稳定平衡：干扰撤销后，体系能自动恢复原有平衡状态；随遇平衡(中性平衡)：干扰撤销后，体系不能自动恢复原有平衡状态，但能在新状态下保持平衡；不稳定平衡：干扰撤销后，体系不能自动地恢复原有平衡状态，也不能在新状态下保持平衡。平衡状态对应着势能的驻值势能增加势能不变势能减小无论从哪个角度看，随遇平衡状态都是介于稳定平衡状态和不稳定平衡状态之间的一种过渡状态，或临界状态。11.1稳定问题的基本概念11.1.1三种不同性质的平衡轴压压弯22PcrEIFl欧拉临界荷载由材料力学知：FPFPcr：轴压杆在受到微小的横向干扰后可以偏离平衡状态而转入状态，但在干扰撤销后杆件将自动恢复原来的单纯受压状态，因此是稳定平衡状态；FPFPcr：轴压杆在干受扰后转入压弯状态，在干扰撤销后不但不能返回原来的状态，而且还将继续产生更大的弯曲变形，因此是不稳定平衡状态；FP=FPcr，压杆在受干扰后转入压弯状态，在干扰撤销后仍将维持这个状态，因此是随遇平衡状态。11.1稳定问题的基本概念11.1.2三类不同形式的失稳失稳：荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态。分支点失稳(第一类失稳)：失稳前(0≤FPFPcr)：压杆保持直线状态，平衡是稳定的，在此阶段中无论荷载为何值均有Δ=0，FP-Δ曲线与竖轴重合，即图中的OA段。失稳后(FP≥FPcr)：压杆在理论上仍可保持直线状态，Δ=0，FP-Δ曲线达到A点后沿路径1继续上升。但这时平衡是不稳定的，任何微小干扰都可能使压杆弯曲变形Δ≠0且Δ随荷载的增大而增大，FP-Δ曲线沿图中的路径2即弧线AB前进。结构变形在荷载达到临界值前后发生性质上的突变理想或完善体系分支点失稳：完善体系（或理想体系）：直杆（无初曲率），中心受压（无初偏心）。Pl/2l/2PΔOP1Pcr=22lEI1PcrABP1Pcr原始平衡状态是稳定的是唯一的P2PcrΔCⅠ(稳定)Ⅰ(不稳定)Ⅱ(大挠度理论)Ⅱ(小挠度理论)DD´P2原始平衡状态是不稳定的。存在两种不同形式的平衡状态(直线、弯曲）。分支点B将原始平衡路径Ⅰ分为两段。在分支点B出现平衡的二重性。原始平衡由稳定转变为不稳定。临界荷载、临界状态2PcrPcrPcrqcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合Pcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合原始平衡：平面弯曲新平衡形式：斜弯曲加扭转结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，这种现象带有突然性。分支点失稳的特点：11.1稳定问题的基本概念11.1.2三类不同形式的失稳非完善体系当荷载较小时（曲线的OA段），Δ随荷载的增大而非线性增长，当荷载达到某一个临界值FPcr时，曲线出现一个极值点（图中A点），此时荷载不但不能继续增加，而且如果稍加干扰，即便减小荷载，杆件的挠度也仍要继续增长，如图中曲线的AB段所示。极值点失稳(第二类失稳)：结构的变形在荷载达到临界值后并不发生性质上的突变，只是原有变形的迅速增长。极值点失稳：非完善体系：具有初曲率的压杆承受偏心荷载的压杆PPPΔOPcr(大挠度理论)(小挠度理论)PePe接近于中心压杆的欧拉临界荷载稳定问题与强度问题的区别：•强度问题是在稳定平衡状态下：max当,小变形，进行线性分析（一阶分析）。P当,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。P重点是求内力、应力•稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。•非线性分析，叠加原理不再适用。极值点失稳的特点：非完善体系出现极值点失稳。平衡形式不出现分支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的变形形式并不发生质的改变，由于结构的变形过大,结构将不能正常使用.对于工程结构两种失稳形式都是不允许的.因为它们或使得结构不能维持原来的工作状态或使其丧失承载能力,导致结构破坏.11.1稳定问题的基本概念跳跃失稳的特点：结构的变形在荷载达到临界值前后发生性质上的突变，并且在临界点处结构位移的变化是不连续的。由于跳跃失稳的FP-Δ曲线在临界点之后理论上存在两条不同的路径，我们将它视为一种特殊形式的分支点失稳。由于结构的几何形状在失稳过程中发生激烈的改变，跳跃失稳必须严格加以避免。11.1.2三类不同形式的失稳跳跃失稳11.1稳定问题的基本概念11.1.3两种不同精度的稳定理论y″+α2y=0M(x)=FPy=-EIy″EI通解为：y=C1sinαx+C2cosαx其中α2=FP/EI边界条件：yx=0=yx=l=0可得：sinαl=0，C2=0FPcr=π2EI/l2lxCysin1小挠度理论大挠度理论对完善体系分支点失稳，两种理论得到的临界荷载一致。Plk1、单自由度完善体系的分支点失稳EI=∞1）按大挠度理论分析PθRA0)cos()sin(lRlPsinklR0)sin)(cos(lklPPθOAPcrBⅠ(稳定)Ⅰ(不稳定)Ⅱ(大挠度理论)不稳定平衡Ⅱ(小挠度理论)随遇平衡0:可能解cosklPklPcr分支点A处的临界平衡也是不稳定的。对于这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响，按非完善体系进行稳定性验算。2）按小挠度理论分析θ10)(lklP0RlPl0klPcr小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当θ较大时平衡路径Ⅱ的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。注:1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。两类稳定计算简例Plk2、单自由度非完善体系的极值点失稳EI=∞1）按大挠度理论分析PθRA0)cos()sin(RlPl]sin)[sin(klR])sin(sin1)[cos(klP:;0得ddPεP/klθO10.7850.380.6600.421.371.47π/231sin)sin(2332)sin1(klPcrP/klεO10.20.6600.10.7850.30.556这个非完善体系是极值点失稳.Pcr随ε增大而减小.])sin(sin1)[cos(klP2332)sin1(klpcrPlkEI=∞2）按小挠度理论分析PθRA]sin)[sin(klRεP/klθO设：ε1，θ1klPklPcrklPklPcr0.40.81.21.610.80.60.40.2各曲线都以水平直线P/kl=1为渐近线,并得出相同的临界荷载值Pcr=kl对于非完善体系，小挠度理论不能得出随着ε的增大Pcr会逐渐减小的结论.。3、几点认识1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳。2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上限考虑。以下只讨论完善体系分支点失稳问题，并由小挠度理论求临界荷载。11.2用静力法求临界荷载静力法:假定体系处于失稳的临界状态，列出平衡方程求解临界荷载。能量法:临界状态的能量特征是体系的势能为驻值，据此求出临界荷载。稳定自由度在稳定计算中，一个体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。PEI1个自由度PPEI2个自由度无限自由度11.2用静力法求临界荷载PlABk1、静力法：要点是利用临界状态平衡形式的二重性，在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定分支点，由此求临界荷载。l0AMPlk0)(kPl0)(kPlθ=0，原始平衡θ≠0，新平衡形式lkPcr0kPl特征方程（稳定方程）临界荷载MA=kθPAB转动刚度系数kB´λθEI=∞用静力法分析具有n个自由度的体系时，可对新的变形状态建立n个平衡方程，它们是关于n个独立位移参数的齐次线性方程，因失稳时n个位移参数不全为零，则方程的系数行列式D等于零，得到稳定方程：D=0它有n个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载。例：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。求其临界荷载。lllPkkABCDPkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）静力法•设变形状态求支座反力•列变形状态的平衡方程ABBYM左0DCCYM右002)(0211PyllPylkyMCC左02)(0122PyllPylkyMBB右0)2(21PyyPkl0)2(21yPklPy（a）如果系数行列式≠0y1，y2为零，对应原始平衡形式。•如果系数行列式=0y1，y2不为零，对应新的平衡形式。022PklPPPkl0)2(22PPklklPklP3crPABCD11112121yyyy1-1例图中所示结构由两根刚性杆组成，两个弹性支座的刚度系数分别为k1=k，k2=0.5k。试用静力法求临界荷载。2个自由度考虑杆件AB和BC对结点B的力矩0)(0)(2221Pcr22111PcrlykyyFlykykyF0)5.0(05.0)(2Pcr1Pcr21PcryklFyFyklyklFF2Pcr-2klFPcr+0.5k2l2=0klF)221(Pcr或05.05.0PcrPcrPcrklFFklklF特征方程稳定方程klklF293.0)221(PcrklklF707.1)221(Pcr最小的为实际临界荷载静力法的解题思路:先对变形状态建立平衡方程，然后根据平衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。不同的是，平衡方程是代数方程（有限自由度体系）微分方程（无限自由度体系）xRxylPEI)(RxPyyEI)(22EIPxEIRyyxPRxBxAysincos.0,0,.0,0,0yylxAyx0cos0sinPRlBlPRlB01cossinllllltgRxPyMxEIRy2*特解：弹性压杆的稳定——静力法1、等截面压杆232ly4.493lyltgy先由图解法求出近似解：αl=4.5再由试算法求更准确的值：ltglD137.0,637.4tan5.4Dll，304.1,096.3tan4.4Dll，068.0,422.4tan49.4Dll，048.0,443.4tan491.4Dll，028.0,464.4tan492.4Dll，008.0,485.4tan493.4Dll，012.0,506.4tan494.4Dll，22)7.0(lEI219.20lEI22)493.4(lEI22)(lEIl2EIPcr刚性支承上等截面直杆的稳定22)7.0(lEIPcrEI22lEIPcr22)2(lEIPcr22)5.0(lEIPcr