几何动态之存在问题

中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-1-【2013年中考攻略】专题20：动态几何之存在性问题探讨锦元数学工作室编辑动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题进行了探讨，本专题对存在性问题进行探讨。结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。一、等腰（边）三角形存在问题：典型例题：例1：（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线cbxaxy2（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），且抛物线cbxaxy2与y轴交于点B（0，2）.（1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为2ya(x2)3。由题意得2a(02)32，解得1a4。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-2-∴物线的解析式为21y(x2)34，即21yxx24。（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则PA2=22(2p)3，PB=22p2，AB2=22(32)25当PA=PB时，22(2p)3=22p2，解得9p4；当PA=PB时，22(2p)3=5，方程无实数解；当PB=AB时，22p2=5，解得p1。∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（94，0）或（-1,0）或（1,0）。（3）∵PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA－PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为y=kx+b，则b22kb3，解得1k2b2。∴直线AB的解析式为1yx22，当1yx22=0时，解得x4。∴当PA－PB最大时，点P的坐标是（4，0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。（2）分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。（3）求得PA－PB最大时的位置，即可求解。例2：（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-3-最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴OAOBOCOA，即21OC2，解得OC=4。∴点C的坐标为（4，0）。（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax+1x4，将A（0，2）代入，得2=a0+104，解得1a=2。∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为1y=x+1x42，即213y=x+x+222。∵22131325y=x+x+2=x+22228，∴抛物线的对称轴为3x=2。（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。∵点P（m，n）在213y=x+x+222上，∴P213mm+m+222，。∴232AOHP11313S2m+m+2m=m+m+2m22244梯形，232PHC11317S4mm+m+2=mm+2m+422244，AOC1S=42=42。∴32322PHCAOCAOHP1317S=S+SS=m+m+2m+mm+2m+44=m+4m4444梯形。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-4-∵22S=m+4m=m2+4，∴当m2时，S最大。当m2时，213n=2+2+2=322。∴点P的坐标为（2，3）。（4）存在。点M的坐标为（31,22）或（33,322）或（33,322-）或（3,3102）或（3,1023-）。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得OAOBOCOA，从而求出点C的坐标。（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由PHCAOCAOHPS=S+SS梯形可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：1y=x2，设过点P与AC平行的直线为1y=x+b2。由点P在1y=x+b2和213y=x+x+222可得21n=m+b213n=m+m+222。∴2113m+b=m+m+2222，整理，得2m4m4+2b=0。要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即1y=x+b2与213y=x+x+222只有一个交点，即2m4m4+2b=0的△＝0，即2444+2b=0，解得b=4。将b=4代入2m4m4+2b=0得m2，将m2代入1n=m+22得n=3。∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。（4）设点M（3,h2），∵C（4，0）,P（2，3）,中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-5-∴PC=2242313,PM=22233723hh6h24,CM=2223254hh24。分三种情况讨论：①当点M是顶点时，PM=CM，即223725h6hh44，解得，1h=2。∴M1（31,22）。②当点C是顶点时，PC=CM，即22513h4，解得，3h=32。∴M2（33,322），M2（33,322-）。③当点P是顶点时，PC=PM，即23713h6h4，解得，h=310。∴M4（3,3102），M5（3,1023-）。综上所述，当点M的坐标为（31,22）或（33,322）或（33,322-）或（3,3102）或（3,1023-）时，△MPC为等腰三角形。例3：（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-6-【答案】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。又∵OA=OB=4，∴OC=12OB=12×4=2，BC=OB•sin60°=34=232。∴点B的坐标为（﹣2，﹣23）。（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣23）代入，得16a+4b=04a2b=23，解得3a=623b=3。∴此抛物线的解析式为323y=x+63。（3）存在。如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±23，当y=23时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=PD3OP2，∴∠POD=60°∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。∴y=23不符合题意，舍去。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-7-∴点P的坐标为（2，﹣23）。②若OB=PB，则42+|y+23|2=42，解得y=﹣23。∴点P的坐标为（2，﹣23）。③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+23|2，解得y=﹣23。∴点P的坐标为（2，﹣23）。综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣23）。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。例4：（2012内蒙古包头12分）已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A,D两点，抛物线21y=x+bx+c2经过点A,D，点B是抛物线与x轴的另一个交点。（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设点M是直线AD上一点，且AOMOMDS:S1:3，求点M的坐标；（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）在y=2x+4中，令y=0，得x=－2；令x=0，得y=4。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-8-∴A（－2，0），D（0，4）。将A（－2，0），D（0，4）代入21y=x+bx+c2，得142b+c=02c=4，解得b=1c=4。∴这条抛物线的解析式为21y=x+x+42。令21y=x+x+4=02，解得12x=2x=4，。∴B（4，0）。（2）设M（m，2m+4），分两种情况：①当M在线段AD上时，由AOMOMDS:S1:3得1122m+2:4m1:322，解得，3m2。∴M1（312，）。②当M在线段DA延长线上时，由AOMOMDS:S1:3得1122m+2:4m1:322，解得m3。∴M2（34，）。综上所述，点M的坐标为M1（312，），M2（34，）。（3）存在。∵点C（2，y）在21y=x+x+42上，∴21y=2+2+4=42。∴C（2，4）。设P0,p，根据勾股定理，得222BC42+420，2222PB4+p16+p，2222PC2+p4p8p+20。分三种情况：①若PB=BC，则216+p20，解得，p2。∵点P在y轴