几何概型易错题辨析几则

几何概型易错题辨析几则邵义平（佛山市第三中学广东佛山528000）几何概型与古典概型有相同之处又有不同之处，学生初学时，往往不能识别几何概型的特点，容易犯一些似是而非的错误。我们需要认真辨析学生犯错的原因，从而促进学生理解几何概型的实质，准确解决几何概型问题。下面结合几则典型题目来作说明分析：一．正确区分古典概型与几何概型例1:(1)．在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为：。(2)．在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为：。分析：在此题中，问题(1)因为总的基本事件是[0，10]内的全部整数，所以基本事件总数为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为114。问题(2)中，因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]长度为10，而事件“不大于3”对应区间[0，3]长度为3，所以所求概率为103。此例中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题(1)中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题(2)中的总基本事件是无限个，属于几何概型；可见古典概型与几何概型既有区别也有联系，在实际问题解决中，关键在于正确区分是古典概型还是几何概型。二．准确分清几何概型中的测度例2：(1)．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM300的概率。(2)．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM300的概率。分析：此例中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。问ACBMACBMy605O560x题(1)的测度应定为线段长度，当∠CAM=300时，3333CMACBC，符合条件的点M等可能的分布在线段CM上，故所求的概率等于33CMCB。而问题(2)的测度应定为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB=450，所以所求概率等于00302345CAMCAB。本例中的两个问题都是几何概型的问题，但选取的测度不一样，在解决时考察的基本事件对象和计算的结果也不一样。可见在解决几何概型问题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题。三．科学设计变量，数形结合解决问题例3：(1)．某人午觉醒来，发现手表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。(2)．某人午觉醒来，发现手表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？分析：此例中，问题(１)里某人醒来在整点间即60分钟内是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题考查的测度可看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A，则6160106010)(＝分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于AP；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。问题(２)里的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用问题(１)中的时间长度之比来解决，得到错误的答案121605。学生错误的原因在于没有透彻地认识题中的变量，本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在[0，60]内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在[0，60]内的任意时刻。所以本问题的解决应以x轴和y轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是5||yx，从而绘制直角坐标系，数形结合，用面积之比，得到结果。由于),(yx的所有可能结果是边长为60的正方形，差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示，记“差异不超过5分钟”为事件Ｂ因此,差异不超过5分钟的概率222605523()14460PB。本例中问题(２)的解决，科学的设计变量很关键，设计的前提是要提高学生自己对几何概型实质的把握，提高自己的审题能力。发现问题中隐含的变量因素，从而将一个包含两个变量的实际问题引进到直角坐标系，通过数形结合顺利解决问题。几何概型不是研究与几何有关的概率模型，但从上面的几个例子可以看出：几何概型虽然与几何没有直接的关系，但是实际生活中的某些问题我们可以通过几何图形去合理地描述，然后用几何知识解决这个问题，所以把它称为几何概型。很多与实际生活有关的概率问题，只要满足几何概型的两个特点，都可以用几何概型去刻画，关键是找出实际问题的本质。（本文发表于《中学教学参考》2010年第6期）