【恒心】直角三角形的射影定理

1[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质数学选修4-12[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质1.射影点在直线上的正射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。A´AANMNMABA´B´点和线段的正射影简称射影3[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ABDC.90,9000BCDBBCDACDBACDCBDACDBDCDCDAD)1(2BDADCD即CBDRtACDRt和考察BCARtBDCRt和考察,是公共角BBCACDA由同理,ABBCBCBD)2(2ABBDBC即)3(2ABADAC有∽BCABDC∽∽射影定理直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。2CDADBD2BCBDAB2ACADABABDC用勾股定理能证明吗?∵AB²=AC²+BC²∴(AD+BD)²=AC²+BC²即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD²∵AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD²∴2AD·BD=2CD²∴CD²=AD·BD而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可证得BC²=BD·AB4[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质ABDCO例1如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,DB=8,0:90,.ACBACBABC解是半圆上的圆周角，即是直角三角形228164;CDADBDCD由射影定理可得，解得22102025;ACADABAC，解得28108045.BCBDABBC，解得求CD,AC和BC的长.5[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质总结：已知“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。ABDC6[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质习题1.41.直角△ABC中已知:CD=60AD=25求：BD,AB,AC,BC的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(2007广州一模)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于_____．BACDO57[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质例2△ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD²=AD·DB求证：△ABC是直角三角形。ABDC证明:在△CDA和△BDC中,0.90.CABDCDABCDABDC点在上的射影为，000909090ACDCADACDBCDACDACBABC在中是直角三角形.2::CDADDBADCDCDDBCDABDCCADBCD又∽8[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。ab习题1.49[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质总结：1、知识：学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达式——射影定理。2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。4、数学思想：方程思想和转化思想。10[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理推论1推论2推论1.2节例3引理预备定理判定定理3判定定理1判定定理2相似三角形概念直角三角形相似的判定定理射影定理相似三角形性质射影概念勾股定理11[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质1.从特殊到一般的思考方法.数学方法:在研究数学问题时,通过考察特殊性问题获得一般规律的猜想,并从中得到证明一般规律的思想方法的启发;然后由特殊过渡到一般,对一般性结论作出严格证明.2.化归思想方法.在研究问题时,常常通过一定的逻辑推理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法,参数法等,都是具体的化归方法.相似三角形的证明采用了化归为预备定理的方法.12[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质习题1.42.如图，△ABC中∠BAC=60°CD⊥AB求证：BD=AB-AC21ACBD60°13[普通高中课程数学选修4-1]第一讲相似三角形的判定及有关性质例2如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。求证：CF·AC=CG·BC证明：∵CD⊥AB，DF⊥AC∴△CDF∽△CAD∴CF︰CD=CD︰AC∴CD2=CF·AC同理可证CD2=CG·BC∴CF·AC=CG·BC