模糊数学的基本理论及其应用

模糊数学的基本理论及其应用摘要：该文是“模糊数学的基本理论及其应用”学术讲座的第一部分。概述了模糊数学的产生和发展,介绍了模糊技术的开发与利用的现状与前景。模糊数学自1965年诞生以来取得了突飞猛进的进展。介绍传统数学的局限性,讲述模数学的产生;概述模糊数学的发展;从国内、国外两方面分别介绍模糊数学的开发与应用。关键词:模糊;模糊理论;模糊数学;模糊技术中图分类号：P631．8—4文献标识码：A文章编号：1001—0890(2007)02—0024—0400引言模糊数学作为一门独立的数学学科,其应用范围已遍及自然科学和社会科学的几乎所有的领域,因此,越来越受到人们的重视。许多科学工作者迫切地希望学习它、应用它,当然也希望读到浅显易懂的入门性教科书。但刊行于世的模糊数学教科书却因过于追求数学严密性而使初学者特别是数学基础稍薄弱者望而却步,因此,有必要撰写一些淡化数学严密性、突出实用性的入门性读物。本讲座将遵循这一原则简明扼要地介绍模糊数学的基本理论及常用方法。基本理论部分大致有模糊集的定义与运算、截集与分解定理、模糊映射与扩展原理、模糊关系及模糊矩阵等。常用方子1法部分大体包括模糊模式识别、模糊聚类分析及模糊综合评判等。此外,我们还将介绍许多实际应用的典型例本讲座试图通过上述内容的讲述,使初学者特别是非数学专业的学者能够在较短的时间内学会具体地应用模糊数学。为了使读者深刻地领会模糊数学的基本概念与某些重要定理,我们在叙述这些内容的同时,还将不厌其烦地讲述它们的来龙去脉、揭示它们与分明数学中相应内容的内在联系、解释它们的合理性。阅读本讲座并不预先要求读者具有广博的数学知识,但为了对所讨论的问题有更好地理解,却希望读者具有一定的数学修养。一般说来,懂得集合、映射、关系及矩阵之基本知识的读者阅读本讲座应当没有任何困难。本文是讲座的开篇。介绍了模糊数学的产生与发展以及模糊技术的开发与利用等情况,目的是引起读者学习模糊数学的兴趣。1模糊数学的产生与发展1965年,美国控制论专家扎德(Zadeh)教授在《信息与控制》(InformationandControl)杂志上发表了论文“模糊集合”(fuzzysets[1])。从此,模糊数学宣告诞生。模糊集合是客观存在的模糊概念的必然反映。所谓模糊概念就是边界不清晰、处延不明确的概念。比如:“高个子”便是一个模糊概念,因为究竟多高才能算作高个子是无法说清楚的。显然,这样的概念俯拾即是。比如,对年龄的描述就有襁褓婴儿、婴儿、幼儿、童年、少年、青年、中年、老年及暮年等等。正是为了从数学上把模糊概念说清楚,扎德才引入了模糊集合。粗略地说,在一个模糊集合中,某些元素是否属于这个模糊集合并不是非此即彼的,说得更明确些就是:既不能认为这些元素完全属于这个集合,也不能认为它完全不属于这个集合,而是处于一种亦此亦彼、模棱两可的状态。例如,张三身高1.70m,即不能说他绝对是个“高个子”。也不能说他绝对不是个“高个子”。那么,怎样确定一个元素对某个模糊集合的隶属关系呢?方法很简单,就是用单位闭区间[0,1]中的某个数字来界定该元素隶属这个模糊集合的一种程度,称之为隶属度。如上文的张三属于“高个子”这个模糊集的隶属度可根据常识与经验确定为0.7。我们知道,集合是现代数学的基础,现在既然有了模糊集合,那么以模糊集合代替原来的分明集合,把经典数学模糊化,便产生了以模糊集合为基础的崭新的数学——模糊数学。模糊数学目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。理论研究主要是经典数学概念的模糊化。由于模糊集自身的层次结构,使得这种理论研究更加复杂,当然也因而更具吸引力。目前已形成了模糊拓扑[2,3]、模糊代数[4]、模糊分析[5]、模糊测度[6]及模糊计算机[7]等模糊数学分支。应用研究主要是对模糊性之内在规律的探讨,对模糊逻辑及模糊信息处理技术的研究。模糊数学的应用范围已遍及自然科学与社会科学的几乎所有的领域。特别是在模糊控制、模式识别、聚类分析、系统评价、数据库、系统决策、人工智能及信息处理等方面取得了显著的成就(参见[8～25])。从1965年算起,模糊集与系统理论(或简单地说成模糊理论)已走过了32年的风雨路程,如今已发展成一门独立的学科。参与这个学科研究的国度遍布全球,研究人员与日俱增,模糊新产品不断问世,模糊技术不断被应用到高精尖领域。因此,可以毫不夸张地说,全球性的“模糊热”已经形成。目前,模糊理论方面的专业学术杂志有:FuzzySetsandSystems(模糊集与系统,国际模糊系统协会会刊,德国承办),模糊系统与数学中国模糊系统协会会刊,国防科技大学承办),J。FuzzyMath。(模糊数学杂志,美国),BUSEFAL(模糊集及其应用研究快报,法国),IEEETransactionsonFuzzySystem(IEEE模糊系统,美国电气和电子工程师学会主办)。1、1模糊数学的产生认识到研究模糊性的重要性和积极意义,是科学史上的一件大事。这个功绩属于美国著名的科学家查德教授。长期以来,查德围绕决策控制与其有关的一系列重要问题的研究,逐步意识到传统数学方法的局限性。他指出:“如果深入研究人类的认识过程,我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱,这一点是理解人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。”1965年,他发表了一篇《模糊集合》的论文,这标志着模糊数学的诞生。查德第一次把模糊性和数学统一在一起,他的观点不是让数学放弃严格性去迁就模糊性,而是要把数学方法打入具有模糊现象的“禁区”,也就是说要把数学吸收人脑处理模糊现象的优点,以精确对模糊,用精确的数量关系来表达模糊概念及其关系。因此,模糊数学决不是模模糊糊的学科,而是以数学的手段分析与处理模糊事物的学科。1、2模糊数学的发展模糊数学目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。理论研究主要是经典数学概念的模糊化。由于模糊集自身的层次结构,使得这种理论研究更加复杂,当然也因而更具吸引力。目前已形成了模糊拓扑、模糊代数、模糊分析、模糊测度及模糊计算机等模糊数学分支。应用研究主要是对模糊性之内在规律的探讨,对模糊逻辑及模糊信息处理技术的研究。模糊数学的应用范围已遍及自然科学与社会科学的几乎所有的领域。特别是在模糊控制、模式识别、聚类分析、系统评价、数据库、系统决策、人工智能及信息处理等方面取得了显著的成就。从1965年算起,模糊集与系统理论(或简单地说成模糊理论)已走过了32年的风雨路程,如今已发展成一门独立的学科。参与这个学科研究的国度遍布全球,研究人员与日俱增,模糊新产品不断问世,模糊技术不断被应用到高精尖领域。因此,可以毫不夸张地说,全球性的“模糊热”已经形成。目前,模糊理论方面的专业学术杂有:FuzzySetsandSystems(模糊集与系统,国际模糊系统协会会刊,德国承办),模糊系统与数学中国模糊系统协会会刊,国防科技大学承办),J。FuzzyMath(模糊数学杂志,美国),BUSEFAL(模糊集及其应用研究快报,法国),IEEETransactionsonFuzzySystem(IEEE模糊系统,美国电气和电子工程师学会主办)。3模糊技术的开发与应用所谓模糊技术就是利用模糊数学的基本理论在具体实现模糊控制、模糊识别、模糊诊断、模糊预测及模糊推理等的过程中,积累起来的经验、知识和技巧。模糊技术已渗透到自然科学、社会科学及工程技术的几乎全部领域,像电力、电子、核物理、石油、化工、机械、冶金、能源、材料、交通、医疗、卫生、林业、农业、地质、地理、地震、建筑、水文、气象、环保、管理、法律、教育、心理、体育、军事和历史等领域,都有其成功应用的范例。近几年来,模糊技术已被列入我国的多种攻关计划。1988年,国家自然科学基金委员会组织全国35所高校及研究机构开展了“模糊信息处理与机器智能”重大联合攻关项目的研究,并拨专款135万元予以支持;1994年,国家经济贸易委员会拨资上亿元开发模糊技术产品;国家技术监督局专门成立了模糊技术标准化工作组,制定各种模糊产品的国家标准;1991年9月,中国微机学会单片机公共实验室曾组织召开全国家电模糊控制会议,在会上,由全国21个家用电器厂联合倡议成立了“中国家用电器模糊控制促进会”;据《中国青年报》1997年12月16日报道,春兰集团正组织数名博士后联合攻关,投巨资开发21世纪的高新技术——模糊控制电动车。中国模糊系统协会理事长、中国科学院院士刘应明教授已在全国性的学术会议上表示,中国要下大气力开发模糊技术,并首先在模糊家电上取得突破。因此,不久将会看到国产的模糊控制家用电器陆续上市。在国外,各种模糊技术成果和模糊产品已逐渐由实验室走向社会,并取得了明显的社会效益和巨大的经济效益。日本的国际贸易和工业部(大藏省)(MITI)早在1988年就投资2400万＄开发模糊技术,并有意识地向国民宣传这方面的成果,普及有关知识。比如,在每天的晚间新闻中播放敏捷灵活的模糊控制的机械手,在电视的黄金时间播映赞美模糊逻辑的广告,以致于小孩在大街上走路也在谈论模糊控制。日本的模糊家电已经涌入欧美市场,赚回了大把大把的钞票。据日本MITI报告,1990年日本模糊家电的年收入是15亿＄。某些工业观察家还预言,在未来几年中美国将逐步形成高达几十亿美元的模糊产品市场,据美国著名刊物《电子设计》预测,1996～1997年仅模糊处理机的收入就可能达到67、5亿＄,模糊软件的产值在未来5年内将达到180～200＄。4、模糊数学与模糊技术的展望现在,模糊数学在模糊控制的应用最为兴盛。不过,在专家系统、模式识别、机器人、土木、建筑、最优化等方面的应用也发展了起来。今后,期待着在经济预测、经营意识决定、时间安排、人机接口、自然语言处理、广告、市场调查、医疗诊断、艺术、工艺设计等涉及人间领域的应用,而且还期待着对因果关系预测困难的自然现象的解释,例如对大气污染、地震预测、气候变动的解释、模型化等作出较大的贡献。参考文献[1]Zadeh。FuzzySets。InformationandControl,1965,8:338～353[2]刘应明,梁基华。Fuzzy拓扑——结构和点式处理。数学进展,1994,23:304～321[3]王国俊。L-fuzzy拓扑空间论。西安:陕西师范大学出版社,1988[4]马骥良,于纯海。模糊代数选论。北京:学苑出版社,1989[5]吴丛忻等。模糊分析学基础。北京:国防工业出版社,1991[6]张广全。模糊测度论。贵阳:贵州科技出版社,1994[7]汪培庄,李洪兴。模糊系统理论与模糊计算机。北京:科学出版社,1996[8]王磊,王为民。模糊控制理论及应用。北京:国防工业出版社,1997[9]陈守煜。系统模糊决策理论与应用。大连:大连理工大学出版社,1994[10]马谋超。心理学中的模糊集分析。贵阳:贵州科技出版社,1994[11]StanciA,IusanV,BuiocaCD。Magnetofluidicsensorforvolumemeasurement[J]。SensorsandActuators,2000,(84):246-249。[12]PopaNC,PotenczI。Magneticliquidsensorforverylowgasflowratewithmagneticflowadjustingpossibility[J]。SensorsandActuatorsA,1997,(59):307-310。