第五章-空间任意力系

第五章第五章空间任意力系空间任意力系西北工业大学西北工业大学支希哲支希哲朱西平朱西平侯美丽侯美丽静力学静力学空间任意力系空间任意力系第五章第五章空间任意力系空间任意力系空间任意力系空间任意力系本章将研究空间任意力系的简化和平衡条件。第五章第五章空间任意力系空间任意力系§5–5空间任意力系的平衡条件和平衡方程§5–2力对轴的矩§5–1力对点的矩静静力力学学§5–3空间任意力系向任一点的简化§5–4空间任意力系的简化结果第五章空间任意力系目录第五章第五章空间任意力系空间任意力系§5–1力对点的矩力对点之矩表示成矢量力对点之矩矢积表达式力对点之矩解析表达式第五章第五章空间任意力系空间任意力系符号：MO(F)力矩矢MO(F)是一个定位矢量，它的大小和方向都与作用点O的位置有关。FFDCOABE力可以对空间任意一点取矩，矩心和力所决定的平面可以有任意方位，所以空间力对任一点的矩应该表示成矢量。MO(F)MA(F)§5–1力对点的矩1.力对点之矩表示成矢量第五章第五章空间任意力系空间任意力系即力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。MO(F)=r×Frα│mO(F)│=│r×F│=rFsinα大小：方向：由矢量代数得知r×F垂直于r与F所构成的平面，它的指向用右手规则判定。2.力对点之矩矢积表达式§5–1力对点的矩rα=Fd=2SΔOAB第五章第五章空间任意力系空间任意力系,kjirzyx++=kjiFzyxFFF++=把上两式代入得()FrF×=OM()()()kjikjiFrFzyxOFFFzyxM++×++=×=()()()kjixyzxyxyFxFxFzFzFyF−+−+−=()zyxOFFFzyxMkjiF=写成行列式形式()()()()kjiFxyzxyxOyFxFxFzFzFyFM−+−+−=证明：3.力对点之矩解析表达式§5–1力对点的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系§5–2力对轴的矩力对轴的矩定义力对轴的矩的解析表达式力矩关系定理第五章第五章空间任意力系空间任意力系把F′的大小与其作用线到轴z的垂直距离的乘积F′d加以适当的正负号。第六章第六章空间任意力系空间任意力系正负号规定：按右手法则：从轴z的正向回头看，如力F′使物体绕轴z作逆时针转动，则取正号；反之，取负号。Mz(F)=±F′d§5–2力对轴的矩1.力对轴的矩定义第五章第五章空间任意力系空间任意力系zdAOFF′F′′一般的定义：力F对任一轴的矩，等于这力在这轴的垂直面的投影对该投影面和该轴交点的矩。Mz(F)=MO(F′)Mz(F)=±F′d力对轴的矩力对轴的矩§5–2力对轴的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系特殊情况(1)力和轴平行。(2)力的作用线通过矩轴。§5–2力对轴的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系xzyOzFxFFyFyF′xF′F′()xyzyFxFM−=F()xyzyFxFM−=F()zxyxFzFM−=F()yzxzFyFM−=F2.力对轴的矩的解析表达式§5–2力对轴的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系()xyzyFxFM−=F(),zxyxFzFM−=F(),yxxzFyFM−=F力对坐标轴的矩的解析表达式()()()kjiFM)(xyzxyxOyFxFxFzFzFyF−+−+−=力对原点的矩的解析表达式比较可得()[]()FFMyyOM=()[]()FFMzzOM=()[]()FFMxxOM=力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应坐标轴的矩。3.力矩关系定理§5–2力对轴的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应坐标轴的矩。()[]()FFMyyOM=()[]()FFMzzOM=()[]()FFMxxOM=几何证明几何证明§5–2力对轴的矩力矩关系定理力矩关系定理第五章第五章空间任意力系空间任意力系力对任一轴的矩，等于该力对这轴上任何一点O的矩矢在这一轴上的投影。力矩关系定理由于原点和坐标轴可以任意选择，所以上述结论可表述为：力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应坐标轴的矩。§5–2力对轴的矩力矩关系定理力矩关系定理第五章第五章空间任意力系空间任意力系若已知力对坐标轴的矩，则反过来可以求得对原点的矩的大小222222)))xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFMMMM−+−+−=++=（（（方向余弦,)(cos,OyzOMzFyF−=iM,)(cos,OzxOMxFzF−=jMOxyOMyFxF−=)(cos,kM4.力对空间任意一点矩的计算§5–2力对轴的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系受力情况如图所示，求（1）FF11力对x，y，z轴的矩，（2）FF22力对z′轴的矩。OBFF11Aabcyxzz′FF22αα$$思考题§5–2力对轴的矩思考思考题题第五章第五章空间任意力系空间任意力系思考思考题题OBFF11Aabcyxzz′FF22αα222coscbac++=α1.求FF11力对x，y，z轴的矩。解：)()()(111xyxzxxMMMFFF+=0cos1+=αbF0cos1+=αaFFF11xyxyFF11zz)()()(111xyyzyyMMMFFF+=0)(1=FzM如图所示§5–2力对轴的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系OBFF11Aabcyxzz′FF22αα2.求FF22力对z′轴的矩。αcos)()(22FFAzMM=′bFA22)(=FM应用力矩关系定理，先求力FF22对点A的矩。然后再投影到z′轴上。§5–2力对轴的矩思考题思考题)(2FMA第五章第五章空间任意力系空间任意力系例5-1在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐标原点O的矩。已知OA=a=6m，AB=b=4m，BC=c=3m，α=30º,β=60º。例题例题55--11例题6-1§5–2力对轴的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系由图示可以求出力F在各坐标轴上的投影和力F作用点C的坐标分别为：解：x=a=4my=b=6mz=c=－3mβαcoscosFFx=βαsincosFFy=αsinFFz=§5–2力对轴的矩例题例题55--11第五章第五章空间任意力系空间任意力系则可求得力F对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。mN105sincossin⋅=+=βααcFaFMxmN66sincoscos⋅−=−−=αβαbFcFMymN8coscossincos⋅=−=βαβαFbFMz力F对坐标轴之矩为()xyzyFxFM−=F()zxyxFzFM−=F()yxxzFyFM−=F由§5–2力对轴的矩例题例题55--11第五章第五章空间任意力系空间任意力系力F对原点O之矩方向余弦531.0),cos(−==OyOMMjM845.0),cos(==OxOMMiM064.0),cos(==OzOMMkMmN3.124222⋅=++=zyxOMMMM力F对原点O之矩为§5–2力对轴的矩例题例题55--11第五章第五章空间任意力系空间任意力系例5-2在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20cm，BC=18cm，F=50N，且α=45°，β=60°。例题6-2例题例题55--22xzyβαABCFFx1y1§5–2力对轴的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系解：()()FF′=BABMMBCF⋅−=αβcoscosmN18.3⋅−=xzyβαABCFFx1y1FF′′1.力对轴AB的矩。应用解析式求解力对点B的矩。()xyzyFxFM−=F()zxyxFzFM−=F()yxxzFyFM−=F222zyxOMMMM++=§5–2力对轴的矩例题例题55--22第五章第五章空间任意力系空间任意力系坐标原点取在B点，则C点的坐标x=0，y=0.18m，z=0N7.17coscos==αβFFxN7.17sincos==αβFFyN3.43sin==αFFz()mN18.3⋅−=−=xyBzyFxFMF()0=−=zxByxFzFMF()mN80.7⋅=−=yzBxzFyFMF力F的各投影力F对坐标轴的矩2.力对点B的矩。xzyβαABCFFx1y1FF′′例题例题55--22§5–2力对轴的矩第五章第五章空间任意力系空间任意力系可求出力矩MB(F)的大小和方向余弦。222zyxOMMMM++=OxMM=)(cos,iMOOyMM=)(cos,jMOOzMM=)(coskMO,由3.力对点A的矩。与计算力对点B的矩的方法相同，但坐标原点应取在点A。xzyβαABCFFx1y1FF′′§5–2力对轴的矩例题例题55--22第五章第五章空间任意力系空间任意力系§5–3空间任意力系向任一点的简化力线平移定理主矢与主矩的计算力系向任一点的简化第五章第五章空间任意力系空间任意力系当一个力的作用线平行移动时，附加力偶矩矢等于原力对新作用点的矩矢。§5–3空间任意力系向任一点的简化1.力线平移定理第五章第五章空间任意力系空间任意力系工程实例分析力线平移定理力线平移定理§5–3空间任意力系向任一点的简化第五章第五章空间任意力系空间任意力系空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢，它等于力系中所有各力的矢量和；这个力偶称为该力系简化中心的主矩，它等于力系中所有各力对该简化中心的矩之矢量和。与平面情形相同，主矢与与平面情形相同，主矢与简化中心的位置无关，而简化中心的位置无关，而主矩则一般与简化中心的主矩则一般与简化中心的位置有关。位置有关。∑=′iFFR∑=iOMM2.力系向任一点的简化§5–3空间任意力系向任一点的简化第五章第五章空间任意力系空间任意力系空间任意力系简化的实例力系的简化力系的简化§5–3空间任意力系向任一点的简化第五章第五章空间任意力系空间任意力系若已知主矢F'R在直角坐标系oxyz的投影主矢的大小和方向余弦2R2R2RRzyxFFFF′+′+′=′()()()222∑∑∑++zyxFFF＝(),,cosRRFFx′′=′iFR(),cosRRRFFy′′=′j,F()RRR,cosFFz′′=′kF,R∑=′xxFF,R∑=′yyFF∑=′zzFFR（1）主矢的计算3.主矢与主矩的计算§5–3空间任意力系向任一点的简化第五章第五章空间任意力系空间任意力系若已知主矩MO在直角坐标系oxyz的投影，则可以求得主矩的大小和方向余弦。222222)))xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFMMMM−+−+−=++=（（（,)(cos,OyzOMzFyF−=iM,)(cos,OzxOMxFzF−=jMOxyOMyFxF−=)(cos,kM（2）主矩的计算§5–3空间任意力系向任一点的简化主矢主矩的计算主矢主矩的计算第五章第五章空间任意力系空间任意力系§5–4空间任意力系的简化结果力系简化的结果合力矩定理的一般形式第五章第五章空间任意力系空间任意力系MAAAF′(1)力系合成为合力偶该力系的主矩不随简化中心的位置而改变。MB=MA+MB(FA′)ΑBFF′=′则MB=MA0=′ΑF如果证证明明BMBBF′FR′=0，而MO≠0，则原力系合成为一个矩为MO的合力偶。§5–4空间任意力系的简化结果1.力系简化的结果如果向点B简化，则由力线平移定理有第五章第五章空间任意力系空间任意力系FR′≠0，MO=0，则原力系合成为一个作用于简化中心O的合力FR，且FR=FR'。FR′≠0，MO≠0，且FR′⊥MO。(2)力系合成为合力则原力系仍然合成为一个合力FR。§5–4空间任意力系的简化结果力系简化结果力系简化结果第五章第五章空间任意力系空间任意力系FR′≠0，MO≠0，且FR′∥MO。(3)力系合成为力螺旋力系合成为一个力（作用于简化中心）和一个力偶，且这个力垂直于这个力偶的作用面。这样的一个力和一个力偶的组合称为力螺旋。右手螺旋：力矢F与力偶矩MO指向相同（图a）。左手螺旋：