第六章-点的运动

第一章第一章点的运动点的运动运动学运运动动学学西北工业大学西北工业大学支希哲支希哲朱西平朱西平侯美丽侯美丽点的运动点的运动第一章第一章点的运动点的运动运运动动学学目录§1–2用矢量法表示点的速度和加速度§1–3用直角坐标法表示点的速度和加速度§1–1确定点的运动的基本方法z点的运动方程§1–4用自然法表示点的速度和加速度第一章点的运动第一章第一章点的运动点的运动自然法坐标法矢量法第一章第一章点的运动点的运动§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动（11）定义：）定义：以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点位置的方法称为自然法。（－）（＋）sOM§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程（22）运动方程：）运动方程：设动点M沿已知轨迹曲线运动，在轨迹曲线上任选一定点O作为量取弧长的起点，并规定由原点O向一方量得的弧长取正值，向另一方量得的弧长取负值。这种带有正负值的弧长OM称为动点的弧坐标，用s表示。点在轨迹上的位置可由弧坐标s完全确定。1.自然法第一章第一章点的运动点的运动当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s随时间而变，并可表示为时间t的单值连续函数，即)(tfs=这个方程表示了点M沿已知轨迹的运动规律，称为自然法表示的点M的运动方程。（－）（＋）sOM自然法自然法§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动这一组方程称为点M的直角坐标形式的运动方程。),(1tfx=),(2tfy=)(3tfz=动点M对于所选直角坐标系的位置，可由它的三个坐标x，y，z决定。当点M运动时，这些坐标一般地可以表示为时间t的单值连续函数，即MxyzxyzijkOr§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程2.坐标法——通常采用直角坐标。若函数f1，f2，f3都是已知的，则动点M对应于任一瞬间t的位置即可完全确定。在运动方程的三个式子中消去t即得直角坐标形式的轨迹方程。第一章第一章点的运动点的运动矢径r唯一的决定了点M的位置。当点M运动时，矢径r是随时间而变的矢量，一般可表示为时间t的单值连续函数由定点O画到动点M的有向线段OM=r称为动点M的矢径，它的解析式为)(trr=kjiOMrzyx++==这方程称为点M的矢量形式的运动方程。MxyzxyzijkOr§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程3.矢量法矢径端点在空间描出的曲线称为矢端图，它就是动点的轨迹。矢量法确定点的位置比直角坐标法简明，理论推导时常用。第一章第一章点的运动点的运动矢量法矢量法§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程矢量法实例矢量法实例第一章第一章点的运动点的运动例1-1椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动。求规尺上任一点M的轨迹方程。ACByOxMxyϕϕ已知:.2bCMaABACOA====例题例题11--11§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程例题1-1第一章第一章点的运动点的运动运动演示例题例题11--11§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动ACByOxMxyϕϕϕϕsincos)(bybax−=+=1)(2222=++bybax考虑任意位置，M点的坐标x，y可以表示成消去上式中的角φ，即得M点的轨迹方程:解:例题例题11--11§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动轨迹演示例题例题11--11§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动M点的轨迹是什么曲线？$$思考题例题例题11--11§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动轨迹演示例题例题11--11§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动xyOACBlϕ例1-2曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且lr，角ϕ=ωt，其中ω是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动。试求滑块B的运动方程，速度和加速度。例题例题11--22§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程例题1-2第一章第一章点的运动点的运动运动演示例题例题11--22§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动ϕϕsincos222rlrCBOCx−+=+=tlrltrxsin1cos22ωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=考虑滑块B在任意位置，由几何关系得滑块B的坐标将φ=ωt代入上式得令λ=r/l，将上式中的根式展开，有xyOACBlϕtttsin81sin211sin1442222ωλωλωλ−−=−解:例题例题11--22§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ttrlxωλωλ2cos4cos412,2sin2sindd⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−==ttrtxvωλωω().2coscosdd222ttrtxaωλωω+−==略去λ4以及更高阶项，并利用关系滑块B的速度和加速度分别为xyOACBlϕ2t2cos1sin2ωω−=ttlrltrxωωsin1cos22⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=则可表示为例题例题11--22§1-1确定点的运动的基本方法·点的运动方程第一章第一章点的运动点的运动位移速度加速度§1-2用矢量法表示点的速度和加速度第一章第一章点的运动点的运动§1-2用矢量法表示点的速度和加速度)(trr=设有一点M沿曲线AB运动，在任一瞬时t，该点之位置可由如下矢径确定显然，当动点M沿AB运动时，r是一变矢量。1.位移从瞬时t到t+△t，动点位置由M改变到M′，其矢径分别为r和r′。在时间间隔△t内，r之变化量为rMMrrrrΔ=′=−Δ+=−′)()(ttt它表示在△t时间内动点矢径之改变，称为动点在△t时间内的位移。BM′Or0ABM0Mrr′△r第一章第一章点的运动点的运动ttttddlimlim00rrvv=ΔΔ==→Δ∗→Δ由矢导数定义知，动点之速度v的方向沿动点的矢端图（即轨迹曲线）的切线方向，并与此点的运动方向一致。当△t→0时，v﹡的极限值称为动点在瞬间t之速度比值tttΔΔ=Δ−′=Δ′=∗rrrMMv表示动点在△t时间内的平均速度。即点的速度等于它之矢径对时间的一阶导数。vM′△r∗vBOr0AM0Mrr′§1-2用矢量法表示点的速度和加速度2.速度第一章第一章点的运动点的运动设从某一固定点O画出动点在连续瞬间t0，t,t+△t、t2….速度矢......,,,0vvvv′′′在△t时间内，速度改变量为，比值称为在△t时间内之平均加速度vvv−′=ΔtΔΔvtΔΔ=∗va连接各速度矢量之端点，可得一曲线，称为速度矢端图，此时可视v为一变矢量。△va*v′vM′v0M0MM〞v′′vOv0v′v′′§1-2用矢量法表示点的速度和加速度3.加速度（1）、平均加速度第一章第一章点的运动点的运动当△t→0时，之极限称为动点在瞬时t之瞬时加速度。tΔΔvtttddlim0vva=ΔΔ=→Δ即动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，或等于它的矢径对时间的二阶导数。其方向沿速度矢端图之切线，并指向速度矢端运动的方向。tddrv=22ddddttrva==又则a*△vvOv0v′v′′a加加速度速度§1-2用矢量法表示点的速度和加速度（2）、瞬时加速度第一章第一章点的运动点的运动直角坐标法表示点的速度直角坐标法表示点的加速度§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章点的运动点的运动由于沿固定轴的单位矢i、j、k不随时间而变,它们对时间的导数都等于零,故得§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度),(1tfx=),(2tfy=)(3tfz=kjirzyx++=)(ddddkjirvzyxtt++==kjirvtztytxtdddddddd++==已知动点的直角坐标形式的运动方程由坐标原点O画出动点的矢径因而有速度的矢量法表达式MxyzxyzijkOr1.直角坐标法表示点的速度第一章第一章点的运动点的运动即,点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影,分别等于动点的对应坐标对时间的一阶导数。kjivzyxvvv++=,dtdxvx=,dtdyvy=dtdzvz=以vx，vy，vz，代表速度v在固定轴x，y，z上的投影，则有与前式比较，得kjirvtztytxtdddddddd++==速速度度§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章点的运动点的运动已知动点速度的投影，可求出速度矢量v的大小和方向余弦。222222)dd()dd()dd(tztytxvvvvzyx++=++=,),cos(vvx=iv,),cos(vvy=jvvvz=),cos(kv速速度度§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章点的运动点的运动kjivatvtvtvtzyxdddddddd++==kjiazyxaaa++=把速度v的表达式对时间t求导数，可得加速度的矢量表达式另一方面，有分解式kjirvtztytxtdddddddd++==§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度2.直角坐标法表示点的加速度速度v的矢量表达式第一章第一章点的运动点的运动其中ax，ay，az是加速度a在固定轴x，y，z上的投影。比较上列两式，得,dddd22txtvaxx==,dddd22tytvayy==22ddddtztvazz==kjivatvtvtvtzyxdddddddd++==kjiazyxaaa++=即，点的加速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于点的速度的对应投影对时间的一阶导数，或者等于对应坐标对时间的二阶导数。加加速度速度§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度加速度的矢量表达式加速度的分解式第一章第一章点的运动点的运动已知动点加速度的投影，可求出加速度a的大小和方向余弦22222222222222)dd()dd()dd()dd()dd()dd(tztytxtvtvtvaaaazyxzyx++=++=++=aax=),cos(ia,),cos(aay=jaaaz=),cos(ka加加速度速度§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章点的运动点的运动例1-3半径是r的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。OOHHCCDDMMxxyyφφ例题例题11--33§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度例题1-3第一章第一章点的运动点的运动OOAAHHBBCCDDMMxxyyφφϕcosrrBCHCHBAMy−=−===解：1..求M点的运动方程。在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴x沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴y铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=MH。于是，在图示瞬时动点M的坐标为⌒ϕϕsinrrMBMHAHOHOAx−=−=−==⌒例题例题11--33§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章点的运动点的运动)sin(ttrxωω−=)cos1(tryω−=这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一圈的时间T=2π/ω，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。OOAAHHBBCCDDMMxxyyφφPP以代入，得M点的运动方程tωϕ=ϕϕsinrrx−=ϕcosrry−=E例题例题11--33§1-3用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章点的运动点的运动求坐标x，y对时间的一阶导数，得)cos1(trvxωω−=trvyωωsin=故得M点速度v的大小和方向，有2sin2sin)cos1(2222trttrvvvyxωωωωω=+−=+=MDMBtvvx====2sin2sin),co