第七章-刚体的基本运动

第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动运运动动学学西北工业大学西北工业大学支希哲支希哲朱西平朱西平侯美丽侯美丽刚体的基本运动刚体的基本运动第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动刚体的基本运动刚体的基本运动刚体是由无数点组成的，在点的运动学基础上可研究刚体的运动，研究整个刚体的运动及其与刚体上各点运动之间的关系。本章将研究刚体的两种简单运动——平移和定轴转动。这是工程中最常见的运动，也是研究复杂运动的基础。第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动§2–4用矢积表示刚体上点的速度和加速度§2–3定轴转动刚体内各点的速度和加速度§2–2刚体的定轴转动运运动动学学§2–1刚体的平移第二章刚体的基本运动目录第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动§2-1刚体的平移zz刚体的平移zz平移的特点第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动1.刚体的平移在运动过程中，刚体上任意一条直线的方向都保持不变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简称为平移。刚体的两种最简单的运动是平移和定轴转动。以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。§§22--11刚体的平移刚体的平移1.刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动zz平移的实例刚体的平移刚体的平移§§22--11刚体的平移刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动zz平移的实例刚体的平移刚体的平移§§22--11刚体的平移刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动zz平移的实例刚体的平移刚体的平移§§22--11刚体的平移刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动zz刚体的平移刚体的平移刚体的平移§§22--11刚体的平移刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动zz刚体的平移刚体的平移刚体的平移§§22--11刚体的平移刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动定理当刚体作平移时，体内所有各点的轨迹形状完全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点的加速度也相等。0dd=ABt刚体平移时，刚体内任一线段AB的长度和方向都保持不变。证明：AOrBrABxzyvvBvAA1B1A2B2因而ABrrAB+=§§22--11刚体的平移刚体的平移2.平移的特点A◆速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动上式再对时间t求导一次，即得故或ttABddddrr=ABvv=ABaa=即，在每一瞬时，平移刚体内任意两点的速度和加速度分别相等。AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B2并且刚体内所有各点的轨迹形状完全相同。平移的特点平移的特点§§22--11刚体的平移刚体的平移A◆加速度◆轨迹第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动zz平移刚体上各点的速度平移的特点平移的特点§§22--11刚体的平移刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动zz平移刚体上各点的加速度平移的特点平移的特点§§22--11刚体的平移刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动应该注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。如果平移刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特殊情形称为平面平移或直线平移。由上述定理可见，当刚体作平移时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平移问题就可看为点的运动问题来处理。平移的特点平移的特点§§22--11刚体的平移刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动综上所述，可以得出刚体平移的特点：zz刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。zz刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。zz刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为质心)的运动分析。平移的特点平移的特点§§22--11刚体的平移刚体的平移第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动已知：O1A=O2B=l,O1O2=AB,AC=0.5BCABO1O2φllMωωC求：(1).三角板ABC的角速度。(2).三角板BC边中点M的速度和加速度。$$思考题§§22--11刚体的平移刚体的平移思考题思考题第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动AABBOO11OO22φφllllMMωωCvBvMvM=vB=rωaM=aB=rω2ll解：三角板ABC作平移运动，点M与点B有相同的速度和加速度。§§22--11刚体的平移刚体的平移思考题思考题第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动例2-1荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长度为l，单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为其中t为时间，单位为s；转角φ0的单位为rad。试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的速度和加速度。t4πsin0ϕϕ=t4πsin0ϕϕ=OABO1O2φll（+）M§§22--11刚体的平移刚体的平移例题例题22--11例题2-1第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。为求中点M的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为tls4πsin0ϕ=将上式对时间求导，得A点的速度tltsv4πcos4πdd0ϕ−==解：OABO1O2φll（+）M§§22--11刚体的平移刚体的平移例题例题22--11第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动再求一次导，得A点的切向加速度代入t=0和t=2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：tltva4πsin16πdd02tϕ−==A点的法向加速度tllva4πcos16π22022nϕ==00φ02（铅直向上）0（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)04πϕl16π0ϕ−l16π202ϕOABO1O2φll（+）M§§22--11刚体的平移刚体的平移例题例题22--11第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动§2-2刚体的定轴转动zz刚体的定轴转动zz角坐标zz角速度zz角加速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动当刚体运动时，如其上有一条直线始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动。该固定不动的直线称为转轴。当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。zz刚体定轴转动的特点§§22--22刚体的定轴转动刚体的定轴转动1.刚体的定轴转动第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动zz定轴转动实例§§22--22刚体的定轴转动刚体的定轴转动第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动这就是刚体的定轴转动运动方程。如已知这个方程，则刚体在任一瞬时的位置就可以确定。)(tf=ϕ刚体的位置可由角φ完全确定。角φ也称为角坐标，当刚体转动时，角坐标φ随时间t而变化，因而可表示为时间t的单值连续函数2.角坐标§§22--22刚体的定轴转动刚体的定轴转动第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内转角的变化。当转角φ随时间而增大时，ω为正值，反之为负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。ϕϕω&=′==)(ddtft角φ对时间的导数，称为刚体的角速度（代数值），以ω代表。故有§§22--22刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.角速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动α和ω正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作减速转动。但减速转动只到ω=0时为止。刚体由静止开始的转动都是加速转动。ϕϕωα&&=′′===)(dddd22tftt角速度ω对时间的导数，称为角加速度（代数值），以α代表，故有它表示单位时间内角速度的变化。§§22--22刚体的定轴转动刚体的定轴转动4.角加速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动其中积分常数φ0和ω0是在初瞬时刚体的转角φ和角速度ω之值。tαωω+=020021ttαωϕϕ++=)(20202ϕϕαωω−=−z匀变速转动公式§§22--22刚体的定轴转动刚体的定轴转动第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动§2-3定轴转动刚体内各点的速度和加速度zz定轴转动刚体内各点的速度zz定轴转动刚体内各点的加速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动刚体内在平行于转轴z的任一直线上，各点具有相等的速度和相等的加速度，又各点的轨迹为同样大小的圆周，其圆心都在转轴z上。§§22--33定轴转动刚体内各点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度1..定轴转动刚体内各点的速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动tRtsddddϕ=由于点M绕点O作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐标s=Rφ，式中的s和φ取相同的正负号。xsyRMOvM0φω考虑到ωϕ==tvtsdd,ddωRv=故有§§22--33定轴转动刚体内各点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度速速度度对时间求导数，得第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动即,定轴转动刚体内任一点的速度,等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积。ωRv=xsyRMOvM0φω式中v与ω两者正负相同。故速度是沿着点M的轨迹圆周的切线，指向转动前进的一方。§§22--33定轴转动刚体内各点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度速速度度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动即，定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积。式中α和at具有相同的正负号。tRRttvadd)(ddddtωω===αRat=点M的加速度包含两部分：切向分量和法向分量。或OaMvanθatααωωzz切向加速度§§22--33定轴转动刚体内各点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度2.定轴转动刚体内各点的加速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动不难看出，当α和ω正负相同时，切向加速度at和v速度有相同的指向，这相当于加速转动；当α和ω正负不相同时，则at与v有相反的指向，这相当于减速转动。OaMvanθatααωωOaMvanθatααωω§§22--33定轴转动刚体内各点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度加加速度速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动即，定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积。法向加速an恒向轨迹的曲率中心即圆心O，因此也称为向心加速度。RRva22n)(ωρ==2nωRa=zz法向加速度OaMvanθatααωω或§§22--33定轴转动刚体内各点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度加加速度速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动42222n2tωαRRaaa+=+=42ωα+=Razz总加速度它与半径MO的夹角θ（恒取正值）可按下式求出2nttanωαθRRaa==2tanωαθ=或显然，当刚体作加速转动时，加速度αα偏向转动前进的一方；当减速转动时，加速度a偏向相反的一方；当匀速转动时αα指向轴心O。OaMvanθatααωω§§22--33定轴转动刚体内各点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度加加速度速度第二章第二章刚体的基本运动刚体的基本运动但是，总加速度a与转动半径所成的偏角，却与转动半径无关，即在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速度对其转动半径的偏角θ都相同；平面上各点加速度的分布如图。,42ωα+=Ra由上式可见，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加速度、法向加速度和总加速的大小都与各点的转动半径成正比。2tanωαθ=§§22--33定轴转动刚体内各点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度加加速度速度第二章第二章