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第一章集合与函数概念第一章1.1集合第一章1．1.2集合间的基本关系课前自主预习方法警示探究思路方法技巧建模应用引路基础巩固训练能力强化提升名师辩误做答课前自主预习温故知新1．用适当的符号(∈，∉)填空：(1)1{x|x2－3x＋2＝0}；(2)0N；(3)a{a，b，c，d}；(4)2{x|x2－2＝0}；(5)3{x|x≤2}；(6){1}{{1},2,3}．∈∈∈∉∉∈2．若a－1∈N，但a－1∉N*，则a＝.3．由大于2小于7的自然数用列举法可以表示为用描述法可以表示为．1{3,4,5,6}．{x∈N|2x7}新课引入在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等(大于或小于)关系，如5＜7,2≤2，而对于集合而言，类比实数的大小关系，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？自主预习1．子集：观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}．(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}．对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么称集合A是集合B的，记作A⊆B(或B⊇A)．用图表示为.用平面上封闭曲线的表示集合的方法称作图示法．这种图称作Venn图．子集内部2．理解子集概念注意以下几点：(1)不含任何元素的集合称作空集．规定：是任何集合的子集．空集用表示．(2)任何一个集合是它本身的子集．(3)对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，那么AC；空集Ø⊆(4)集合A不包含于集合B(AB)包括如下图所示几种情况：通过以上所学，完成下面练习．下列各组集合中，集合A是集合B的子集的有()①A＝{1,3,5}，B＝{1,2,3,4,5,6}；②A＝{1,3,5}，B＝{1,3,6,9}；③A＝{0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；④A＝{a，b，c，d}，B＝{d，b，c，a}．A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]D[解析]容易看出，①④中集合A的元素都是集合B的元素，因此A为B的子集；②中集合A的元素5不是B的元素，③中B的空集．3．集合相等与真子集如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同时集合B的所有元素都是集合A的元素，那么就称集合A等于集合B.(即：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B)如果集合A是集合B的子集，并且存在x∈B，且，则称A是B的真子集．用AB或BA表示．x∉A值得说明的是：(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素A的元素；(2)子集包括真子集和相等两种情况；(3)空集∅是任何非空．．集合的真子集；(4)对于集合A、B、C，如果AB，BC，那么AC；如果AB，B⊆C，那么AC；如果A⊆B，BC，那么AC.不是通过以上所学，完成下面练习．(1)写出N，Z，Q，R之间的包含关系，并用Venn图表示．[解析]NZQR，用Venn图表示如图所示．(2)判断下列两个集合之间的关系：A＝{x|x是4与10的公倍数，x∈N*}，B＝{x|x＝20m，m∈N*}．[答案]A＝B4．正确区别各种符号的含义．(1)∈与⊆的区别∈表示元素与集合之间的关系，因此有1∈N，－1∉N等；⊆和表示集合与集合之间的关系，因此有N⊆R，∅R等，要正确区分属于和包含关系．(2)a与{a}的区别一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}{1,2,3}，a∈{a，b，c}，{a}{a，b，c}．(3)空集是集合中的特殊现象，A⊆B包括A＝∅的情形容易漏掉，解题时要特别留意．(4){0}与∅的区别{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此有∅{0}，∅＝{0}与∅∈{0}都是错误的．要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系．通过以上所学，完成下面练习．用适当的符号(∈，∉，，，＝，≠)填空：(1)a________{a}；{a}________{a，b}．(2)0________∅；∅________{0}．(3){0,1}________{1,0}；{0,1}________{(0,1)}．(4){a，b}________{b，a}；{(a，b)}________{(b，a)}．(5){1,3}________{x|x2－4x＋3＝0}．(6){x|3x－50}________{x|x53}．(7){x∈Z|－1x3}的子集为__________．[答案](1)∈(2)∉(3)＝≠(4)＝≠(5)＝(6)＝(7)∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}思路方法技巧学法指导：1.对子集、真子集有关概念的理解．(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.元素与集合、集合与集合之间关系的考查1[例1]设a＝2＋3，M＝{x|x≤10}，给出下列关系：①a⊆M；②M⊇{a}；③{a}∈M;④{∅}∈{a}；⑤2a∉M；其中正确的关系式共有()A．2个B．3个C．4个D．5个[分析]解题的关键是确定出a与10的大小，正确使用“属于”、“包含”等符号．[解析]a2＝5＋26＝5＋24＜5＋5＝(10)2，∴a＝2＋3＜10，∴a是集合M中的一个元素，又2a＞10，∴2a不是集合M中的元素，而元素与集合之间的关系应由“属于或不属于”来描述，∴①是错误的，⑤是正确的；再由{a}是以a为元素的集合，{∅}表示的是以∅为元素的集合，且集合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述，从而可以判定③、④错误，②正确．[答案]A规律总结：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认，以避免因疏忽而出错．下列各式中，正确的个数是()(1){0}∈{0,1,2}；(2){0,1,2}⊆{2,1,0}；(3)∅⊆{0,1,2}；(4)∅＝{0}；(5){0,1}＝{(0,1)}；(6)0＝{0}．A．1B．2C．3D．4[答案]B[解题提示]首先要分清是元素与集合间的关系，还是集合与集合间的关系．如果是集合与集合，还要分清是什么关系．[解析]对于(1)，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于(2)，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于(3)，空集是任何集合的子集，对于(4)，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于(5)，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数对(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于(6)，{0}是含有单元素0的集合，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故(2)(3)是正确的，应选B.学法指导：判断集合关系的方法有三种：(1)一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．集合包含关系的考查2(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．若A⊆B和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系．[例2]指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{1,2}，B＝{(1,2)}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)A＝{x|－1x4}，B＝{x|x－50}；(5)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[分析]先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系．[解析](1)用列举法表示集合B＝{－1,1}数A＝B，(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(4)集合B＝{x|x5}，用数轴表示集合A，B，如下图所示，由图可知AB.(5)方法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.方法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.规律总结：对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；(4)M＝{x|x＝n2，n∈Z}，N＝{x|x＝12＋n，n∈Z}．[解析](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，所以BA.(3)由图形的特点可画出Venn图如下图所示，从而CABD.(4)方法一：对于集合M，其组成元素是n2，分子部分表示所有的整数；对于集合N，其组成元素是12＋n＝2n＋12，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，NM.方法二：用列举法表示集合如下：M＝{…，－32，－1，－12，0，12，1，32，2，52，…}，N＝{…，－32，－12，12，32，52，…}，所以NM.[例3]已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且MN，则()A．a≤1B．a＜1C．a≥1D．a＞1[分析]为了形象直观地表示集合的关系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系．数轴在表示集合之间的关系中应用的考查3[解析]随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足MN的情况如图，显然可得a＜1，故选B.[答案]B规律总结：要特别注意a能否取到1，若把其他条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M⊆N；④M⊇N；⑤MN.[答案]①B②A③A④C⑤D已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．(1)若B⊆A，则a的取值范围是________；(2)若A⊆B，则a的取值范围是________；(3)若AB，则a的取值范围是________；(4)若A＝B，则a的值是________．[答案](1)a≤3(2)a≥3(3)a3(4)3[解析](1)若B⊆A应满足a≤3；(2)若A⊆B应满足a≥3；(3)AB应满足a3；(4)若A＝B则a＝3.建模应用引路学法指导：由集合间的关系求参数的取值或范围有时在集合的表示中含有字母参数，让我们通过集合的关系来求参数的范围，这里面要注意两个问题：(1)有关参数的题目要注意分类讨论：一般来说要明确含有参数的题目需要分类，如y＝ax2＋bx＋c中的a是否为0，ax＞b中的a也需要讨论，由上面几个例子，参数在取不同的值时，导致问题有不同的形式，因此有关参数的题目，要注意分类的应用，根据分类的原因明确分类的标准，由标准找出分类的对象，还要注意分类时不重不漏的原则．(2)当B是A的子集即B⊆A或真子集BA时，要特别注意B＝∅的情况，不要遗漏，否则会丢解．[例4]设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a