机械系统动力学课件

1第六章机械系统动力学典型机构的振动§6.1轴和轴系的振动在轴的振动问题中，多数情况下只要求算出固有频率，而不进行振动响应分析。求解固有频率常用两种方法。一种是通过求解特征值问题计算出固有频率；对轴系这类链状系统，传递矩阵法是很方便的另一种方法。研究轴的横向和扭转振动使用有限元模型或集中参数模型。轴的形状简单时，还可用弹性体振动的精确解法（即，分布质量模型）来求解。离散化的两种模型和求解固有频率的两种方法相结合，分析轴和轴系的振动可以有多种方法。研究横向振动时采用有限元模型和特征值方法。研究扭振采用集中质量模型和传递矩阵法。一、轴的横向振动临界转速计算用有限元模型和特征值方法计算轴的横向振动固有频率（即，临界转速）的方法。用该方法计算固有频率的基本步骤如下：1）建立有限元模型。包括：将轴划分为单元，建立广义坐标；建立单元的刚度矩阵k和质量矩阵m；组成总刚度矩阵K和总质量矩阵M。一般常见的轴多呈阶梯状，一般划分单元时可以：将轴大体依阶梯划分为轴单元，某一段阶梯很长时要适当分为几个轴单元；轴上安有轮、盘的部分要单独划为单元，称为盘单元；支撑点必须取做节点。若单元数目为N，则节点数目PN为1PNN=+。单元和结点自左至右编号。每个结点处建立两个广义坐标：横向弹性位移和弹性转角。在第i个节点处建立的广义坐标编号为：横向弹性位移2i1U-和弹性转角2iU。广义坐标数目uN为P2N。如图1所示为一带有圆盘的转轴，可划分为四个单元，即三个轴单元和一个盘单元，设置五个节点，共十个广义坐标。需作为原始数据送入计算机的有：单元数目N，各单元的基本参数长度il，轴的内、外直径2iD1iD（如果空心的话），圆盘单位长度上对直径的转动惯量diJ，单元的类型，材料密度r和弹性模量E。轴单元的质量矩阵和刚度矩阵可按照P154-155中梁单元的相应公式（5-16）和（5-20）计算。而盘单元的动力学矩阵则有一些特殊问题要处理。轴上的盘状不是安装在轴的中央时，圆盘的转动轴线与静态位置相比，不仅有一个横向线位移，还存在一个角位移，圆盘的转动轴线描绘出一个圆锥面（如图2所示）。因2此在计算动能时不仅需计算横向移动动能，还应计算角位移引起的转动动能Tq：*(,)2ld01dxtTJdx2dtqq⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫（1）式中，dJ为圆盘单位长度上绕轴的转动惯量，设为常数。由材料力学可知：(,)(,)uxtxtxq∂=∂（2）式中(,)uxt为单元上任意点的横向位移。(,)'()()4iii1xtxutqf==∑（3）式中'()idxdxff=代入(a)式得：*()'()'()()l44Tidijji1j1011TutJxxdxut22qqff==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑∫uMu&&&&（4）式中qM为基于圆盘角位移的质量矩阵，其元素可依下式计算：*()'()'()lijdij0MJxxdxqff=∫（5）得：3*()22d2363l363l4l3llJ363l30lsym4lq-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦M（6）因而，盘单元的总质量矩阵为：yq=+MMM（7）式中yM为仅考虑横向线性位移的质量矩阵，计算方法同轴单元。盘状零件是以一定的配合形式安装在轴上的，如果配合较紧，则限制了轴的变形从而提高了刚度。考虑到这一影响，可做如下近似处理：若轴孔间为紧配合，计算刚度时按轮毂直径考虑；若为动配合，则仍按轴径计算。由于单元、节点和广义坐标均由左向右排列来编号，图1所示轴，其四个单元的质量矩阵在系统质量矩阵中的配置可表示如下：（8）这一配置过程由于其规律性，很便于用计算机程序自动完成。第i个单元的左右节点号为i,i+1,因而它的四个单元广义坐标,,,1234uuuu就是系统广义坐标,,,2i12i2i12i2UUUU-++。这样，就应当将单元质量矩阵的四行四列叠加到系统质量的第2i1-行到第2i2+行，第2i1-列到第2i2+列去。按这一方法逐一地将各个单元的质量矩阵都装配到系统质量矩阵中去。系统刚度矩阵也按同样方法装配。2）求解特征值问题，求出临界转速。支撑条件的处理：由于在划分单元时，总是将支撑点取为节点，因而支撑点处也设有两个广义坐标。由于支撑处有横向位移，刚体运动的自由度未能消除。这样，按上面的方法装配起来的刚度矩阵存在奇异性。当有刚体运动的自由度存在时，存在零值固有频率，所以应消除刚度矩阵的奇异性。这可以通过对支撑条件进行处理来完成。当支撑点处理为刚性铰链时，横向位移被约束住了，因而这个广义坐标就可以不设置。当支撑点号为j，则广义坐标2j1U-可以去掉，相应的系统动力学矩阵M，K中的第2j1-行，第2j1-列的全部元素均可去掉。若轴有两个这样的支撑，则系统矩阵由Nu降阶为Nu-2阶。当支撑为弹性时，则该支撑处有一支承反力为j2j1kU--，jk为支撑的刚度系4数。为此可在总刚度矩阵的第2j1-行，第2j1-列元素,2j12j1K--上加上一个jk即可。临界转速的计算：在组建完系统动力学矩阵以后，可求解如下特征值问题()20w-=KMΦ（9）求出各阶固有频率（即临界转速）(,,...)jj12w=。用有限元法求出的高阶固有频率精度较差，而我们实际上也只对前几阶，尤其是第一阶固有频率感兴趣。注意固有频率的单位是rad/s，临界转速cn应根据第一阶固有频率进行折算：c130nwp=（10）二、轴系的扭振固有频率计算各种机械中广泛应用着各种传动系统，如切削机床中就应用着非常复杂的齿轮传动系统。这种传动系统常常受到变载荷的作用。这种变载荷可能是外载荷的周期变动，如驱动力矩或阻力矩的变化；也可能来自传动元件，如齿轮啮合中发生的冲击。这种变载荷会激起传动系统的扭转振动。因此要核算传动系统扭振的固有频率。（一）轴系扭振的力学模型采用集中质量模型。忽略轴的惯性，将轴视为无质量扭转弹簧；忽略齿轮和轮齿的弹性，将齿轮视为集中转动惯量。以图3（或书中P237图6-5）所示的串联齿轮传动系统为例来说明，如何把一个复杂的传动系统变成一个简单的力学模型。为进一步分析的方便，采用等效构件的概念，将系统中各轴的惯性、弹性、5力矩和角位移都用等效构件上的等效量来代替。在刚体系统动力学中讲过，等效转动惯量是按动能不变的原则求出的，等效力矩是按作功不变的原则求出的。但注意弹性元件两侧的转动惯量要用各自的等效转动惯量来替代，两侧的力矩也要用各自的等效力矩来替代。等效刚度则是本节中新遇到的问题。等效刚度根据等效弹簧的变形能与原来轴上的变形能相等的原则来确定。等效刚度：1）等截面轴的扭转刚度系数由材料力学可知：GIkl=（11）式中，G为材料的切变模量，l为轴段的长度，I为截面的极惯性矩，对圆截面，/4Id32p=，d为轴径。2）阶梯轴的等效刚度系数阶梯轴相当于串联的扭转弹簧（图4）。各段刚度1k，2k可用式（11）计算。等效刚度系数ek可用下式导出：,12ee1212kk111kkkkkk=+=+（12）3）刚度由一轴向另一轴的转化要把图3（a）的传动系统简化为图3（b）的力学模型，还要把一个轴的刚度转化到另一个轴上去。以图5（a）的串联齿轮传动为例来说明，令传动比为i：''2222zizqq==-&&（13）若以轴I为等效构件，则齿轮'2z和3z处的转角'2q、'3q及角速度'2q&、'3q&可转化到轴I上去：6'/'/'/'/33332222iiiiqqqqqqqq=⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪=⎭&&&&（14）根据等效力矩，等效转动惯量和等效刚度的概念，可以得出如图5（b）的简化系统。各等效转动惯量为'e112e2222e33JJJJJiJJi=⎫⎪=+⎬⎪=⎭（15）各等效力矩为：e22e33MMMMi=⎫⎬=⎭（16）等效刚度可根据等效弹簧的势能与原来轴的势能相等的原则来确定。设轴II折算到轴I的等效刚度为e2k，则有：('')()22232e23211kk22qqqq-=-（17）将式（14）代入式（17）可得2e22kki=（18）因此，当刚度从一轴向另一轴转化时要乘以传动比的平方。串联传动系统的力学模型实际上图5已是一个最简单的传动系统的力学模型。对图3（a）的系统。首先根据各齿轮齿数算出传动比：,,,''''''''()''''...()''...''2222232233223pn1n232n1n233zizzzi1zzzzzzi1zzzzΙΙ--Ι--⎫==-⎪⎪⎪==-⎬⎪⎪=-⎪⎭CⅢN-1（19）式中p为外啮合齿轮对的数目。然后可折算出转角,,'''/......'/11222nnN1IiiqqqqqqqΙ-=⎫⎪==⎪⎬⎪⎪=⎭C（20）等效转动惯量7,,,,''......e112e22222e3332ennN1JJJJJiJJiJiJJiΙΙΙ-Ι=⎫⎪=+⎪⎪=+⎬⎪⎪⎪=⎭CCⅢ（21）等效刚度,(),......e112e222en1n1N1kkkkikkiΙ---Ι=⎫⎪=⎪⎬⎪⎪=⎭C（22）等效力矩,,'......e112e222ennN1MMMMMiMMiΙ-Ι=⎫⎪=+⎪⎬⎪⎪=⎭C（23）整个简化力学模型如图3（b）所示，它共包含n个广义坐标,,...,12nqqq。广义坐标还可以用另一种办法来建立。整个简化系统有一个统一的刚体运动（角速度为1q&）还有n-1个弹性运动。可以取一个刚体自由度1q，加上n-1个弹性自由度,,...,12n1qqq-形成n个广义坐标，弹性自由度......121232n1nn1qqqqqqqqq--=-⎫⎪=-⎪⎬⎪⎪=-⎭（24）（二）求固有频率的传递矩阵法针对图3（b）的力学模型不难建立起多自由度振动方程，然后用求解特征值问题的方法得到扭振的固有频率。但是当系统的自由度数很大时，特征值求解的计算工作量就急剧增加。对于轴系这样一种链状结构还有一种很有效的求解方法——传递矩阵法。传递矩阵法只需要进行低阶矩阵的乘法运算，能节省很大的工作量。1.状态变量用前述建立力学模型的方法得到如图6所示的简化系统。这一模型可以离散8化为两类单元——轴单元和盘单元。将第i段轴和第i个盘取出来。单元的两端仍称为节点。每个节点处可用该处的力矩和转角来反映该节点的运动与受力状态，称为状态变量。采用右手螺旋定则。2.点传递矩阵现在看第i个盘单元，其左、右各作用有转矩LiM，RiM，根据欧拉方程有RLiiiiJMMq=-&&（25）式中iJ为盘的转动惯量。设轴系以频率w作简谐扭振，令sin()iimtqqwa=-（26）则，2iiqwq=-&&（27）式（27）代入（25）得：RL2iiiiMMJwq=-（28）由于圆盘无弹性变形，iq对左、右节点相等:LRiiiqqq==（29）式（28）-（29）合并为矩阵形式：RL2iii10MJ1Mqqw⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦（30）式中两个列阵RiMq⎡⎤⎢⎥⎣⎦、LiMq⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别为圆盘右节点和左节点处的状态变量，它们9反映了两节点处的运动和受力状态。其中令pi2i10TJ1w⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦为盘单元的点传递矩阵。3.场传递矩阵现在再来研究轴单元左右节点间的传递关系。由图6可看出第i个轴单元右节点处的状态变量就是第i个盘单元右节点处的状态变量，而左节点处的状态变量就是第i-1个盘单元右节点处的状态变量。由于忽略了轴的惯性，两边转矩相等：1LRiiMM-=（31）由于轴单元有扭转变形，故有111LRRiiiiMkqq---=（32）式（31）-（32）也可合并为矩阵形式：111/01RLiiikMMqq-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（33）式中令11/01fiikT⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为场传递矩阵，反映从左节点到右节点的传递关系，为轴单元的传递矩阵。4.频率方程有了第i个轴单元和第i个盘单元的传递矩阵，也可同样地写出每一个单元的传递矩阵，所以从轴最左端到最右端的传递关系为：10LRnMMqq+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦T（34）式中等式左边是最右端第n+1个圆盘的左边的状态变量，等式右边的矢量是最左端第0个圆盘的右边的状态变量。其中总传递矩阵T是各单元传递矩阵的连乘积：