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中考二轮复习圆的证明与计算一、考题形式分析：主要以解答题的形式出现：第1问主要是判定切线；第3问证明等积。第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）；知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；知识点二：求线段长度：（1）线段为弦先考虑垂径定理加勾股定理，再考虑相似三角形。（2）线段非弦先考虑构造直角三角形，再考虑相似。（求线段的比：多从相似入手，且比值的两边对应在两个三角形中）知识点三：证明等积（变成等比用相似）（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．知识点一：切线的证明证明：连接OD；∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC；∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．知识点一：切线的证明（有切点）例2如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.知识点一：切线的证明（有切点）证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.∴弧BD=弧DE，∴∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF(SAS)∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.例3：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.知识点一：切线的证明（无切点）证明：连结OE，作DF⊥AC∵AB是⊙O的切线，∴DE⊥AB.又∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵D为BC中点，∴BD=CD，∴△DEB≌△DFC(AAS)∴DE=DF.∴AC与⊙O相切.例4：如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．（1）求OD的长；（2）求CD的长．知识点二：求线段的长解（1）设⊙O的半径为R∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB在Rt△ABO中，OB=R,AO=OC+AC=R+8，AB=12∵∴解得R=5∴OD长为5（2）∵CD⊥OB,∴DE=CE,而OB⊥AB，∴CE∥AB，∴△OEC∽△OBA∴即∴CE=60/13∴CD=2CE=120/13例5如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB＝6，AD＝5，求AE的长．知识点二：求线段的长知识点二：求线段的长（1）ED与⊙O的位置关系是切．理由如下：连接OD，∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，∴CD=BD，∴OD⊥BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴OD⊥DE，∴ED与⊙O的位置关系是相切；(2)连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，在直角△ABD中，∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵∠AFC=∠BFD，∴∠FBD=∠CAD=∠BAD∴△FBD∽△BAD（AA）∴∴∴AF=AD-FD=5-=．例6如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：知识点二：求线段的长证明（1）连接OD，∵CD=AD又∵AO=BO∴OD是△ABC的中位线∴OD∥BC∵∠DEB=90°∴∠ODE=90°即OD⊥DE∴DE为⊙O的切线。（2）∵∠BED=∠BDC=900，∠EBD=∠DBC∴△BED∽△BDC∴又∵AB=BC∴∴BD2=AB•BE例7如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）求证：（3）若BC=6，tan∠F=1/2，求AC的长．知识点二：求线段的长例7如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）求证：（3）若BC=6，tan∠F=，求AC的长．知识点二：求线段的长解：（1）连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°，∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB，又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OA⊥PA，∴直线PA为⊙O的切线．（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位线定理），设AD=x，∵tan∠F=1/2，∴FD=2x，OA=OF=2x-3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）2=x2+32，解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），∴AD=4，OA=2x-3=5，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=6/10=3/5．∵OA2=OD•OP，∴3（PE+5）=25，∴PE=10/3．完成学案的练习及作业本节课到此结束请同学们回去好好复习2、如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切.1、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线；全等3、如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.4、如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.平行ODCBA第1题图第2题图FOEDCBA第3题图FOEDCBA第4题图6、如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线。5、如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.OEDCBA第5题图第6题图