高三理科数学圆锥曲线及答案详解

1高三理科数学《圆锥曲线》强化训练（一）1．（本题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在满足的点?若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.2．（本小题满分14分）已知点P是椭圆上的任意一点，F1，F2是它的两个焦1C1(2,0)F2F20,(2,3)A1CAL22:4CxyBC,2CBC,12ll,1l2lP1C1212PFPFAFAFPPP2212xy2点，O为坐标原点，动点Q满足OQ→＝PF1→＋PF2→，。(I)求动点Q的轨迹E的方程；(II)若与坐标轴不垂直的直线交轨迹E于两点且，求三角形面积的取值范围。l,ABOAOBOABS33．（本小题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为，动点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM（O为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．22221(0)xyabab61(,)22P22(2,)(0)Mtt3450xy44．（本题满分14分）已知双曲线的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为，过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点（A、B在轴的上方）.（1）求双曲线的标准方程；（2）探究是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.332P,ABxOAOB5高三理科数学《圆锥曲线》强化训练（一）答案1．（本题满分14分）解法1：设椭圆的方程为,依题意:解得:∴椭圆的方程为.解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即，………1分∵，∴.………2分∴椭圆的方程为.(2)解法1：设点,，则，，∵三点共线,（∴.∴,化简得：.①由,即得.∴抛物线在点处的切线的方程为，即.②同理，抛物线在点处的切线的方程为.③设点，由②③得：，而，则.代入②得，则，代入①得，即点的轨迹方程为.若，则点在椭圆上，而点又在直线上，1C22221xyab0ab222222231,4.abab2216,12.ab1C2211612xy1C22221xyab0ab1228aAFAF4a2c22212bac1C2211612xy)41,(211xxB)41,(222xxC))(41,(212212xxxxBC)413,2(211xxBACBA,,BCBA//222211211113244xxxxxx1212212xxxx()24xy214yx,y12x2CB1l)(2411121xxxxy211412xxxy2CC2l222412xxxy),(yxP211412xxx222412xxx21xx)(2121xxx2141xxy212xxx214xxy1244yxP3xy1212PFPFAFAFP1CP3xy6∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.∴满足条件的点有两个.解法2：设点,，，由,即得.∴抛物线在点处的切线的方程为，即.∵，∴.∵点在切线上,∴.①同理，.②综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过的直线是唯一的，∴直线的方程为，∵点在直线上，∴.∴点的轨迹方程为.若，则点在椭圆上，又在直线上，∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.∴满足条件的点有两个.2．解：(I)如图由OQ→＝PF1→＋PF2→，又PF1→＋PF2→＝PM→＝2PO→＝－2OP→，设Q(x，y)，则OP→＝－12OQ→＝－12(x，y)＝－x2，－y2，即P点坐标为－x2，－y2，又P在椭圆上，则有，即.(II)当斜率不存在或为零时，由图可知当斜率存在且不为零时，设：，代入得以代换同理可得3xy1C(3,0)3xy1C1212PFPFAFAFP),(11yxB),(22yxC),(00yxP24xy214yx,y12x2CB1l)(2111xxxyy2111212xyxxy21141xy112yxxy),(00yxP1l10102yxxy20202yxxy),(),,(2211yxCyxByxxy002),(),,(2211yxCyxBLyxxy002)3,2(AL300xyP3xy1212PFPFAFAFP1C3xy3xy1C(3,0)3xy1C1212PFPFAFAFP22()2()122xy22184xyOA1222222SOAOA(0)ykxk2228xy222222288,2121kxykxkk222228(1)||21kOAxykOAOB1kk2228(1)||2kOBk7当且仅当时等号成立。而时，与轴或轴垂直，不合题意。而三角形面积的取值范围为3．解：（1）由题意得①因为椭圆经过点，所以②又③由①②③解得，．所以椭圆的方程为．（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为．因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离．…7分所以，即，故，或，解得，或．又，故．所求圆的方程为．………………………….……..9分（3）方法一：过点作的垂线，垂足设为．直线的方程为，直线的方程为．由，解得，故．……11分；．22422222224242116(1)16(21)||||8(1)4(21)(2)252252kkkkSOAOBkkkkkk2218(1)225kk2222222224kkkk1k1kABxy2222(4,)kk26489S8223SOABS8(,22]322ca61(,)22P222261()()221ab222abc22a221bc2212xy(1,)2t214tr222(1)()124ttxyOM3450xy23450xy2211142ttdr|325|52tt2|22|5tt445tt445tt4t49t0t4t22(1)(2)5xyFOMKOM2tyxFN2(1)yxt22(1)tyxyxt244xt2242(,)44tKtt2222221644||(4)(4)4tOKttt2||4OMt8又.．所以线段的长为定值．方法二：设，则，，，．，．．又，．．为定值．4．解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为(）………1分∵c=2，………2分………3分∴………4分∴双曲线的标准方程为.………5分（2）是定值2，理由如下：………6分设直线AB：（没有b0，不得分这1分）………7分由得………8分解得………9分设双曲线渐近线方程：与联立，………10分得，…11分，………12分=3………13分∴==2………14分（没有导致情况多种的扣2分）2224||||||424ONOKOMtt||2ONON200(,)Nxy00(1,)FNxy(2,)OMt00(2,)MNxyt00(,)ONxyFNOM002(1)0xty0022xtyMNON0000(2)()0xxyyt22000022xyxty2200||2ONxy12222bxay0,0ba332ac1,3ba1322xyOAOB0,bbkxy3322xybkxy0323222bkbxxk0)3)(3(4)2(,032222bkkbk322bk00),(),(212211yyyxByxA，，则、0322xybkxy02)3222bkbxxk（0)3(4)2(,032222bkkbk1-32221kbxx||32121xxyyOAOB2121yyxx021yy、