信号与系统课后答案

第一章第一章第一章第一章习习习习题题题题1-1画出下列各信号的波形：(1)f1(t)=(2-e-t)U(t);(2)f2(t)=e-tcos10πt×[U(t-1)-U(t-2)]。解：（1）)(1tf的波形如图1.1（a）所示.(2)因tπ10cos的周期sT2.0102==ππ,故)(2tf的波形如图题1.1(b)所示.1111----2222已知各信号的波形如图题1-2所示，试写出它们各自的函数式。解：)1()]1()([)(1-+--=tutututtf)]1()()[1()(2----=tututtf)]3()2()[2()(3----=tututtf1111----3333写出图题1-3所示各信号的函数表达式。解)]2()2([2sin)(3--+-=tututtfπ)3(2)2(4)1(3)1(2)2()(4-+---++-+=tutututututf1111----4444画出下列各信号的波形：(1)f1(t)=U(t2-1);(2)f2(t)=(t-1)U(t2-1);(3)f3(t)=U(t2-5t+6);(4)f4(t)=U(sinπt)。解(1))1()1()(1--+-=tututf,其波形如图题1.4(a)所示.(2))1()1()1()1()]1()1()[1()(2---+--=--+--=tuttuttututtf其波形如图题1.4(b)所示.(3))3()2()(3-++-=tututf,其波形如图1.4(c)所示.(4))(sin)(4tutfπ=的波形如图题1.4(d)所示.1-5判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T。)42cos(2)()1(1π-=ttf;22)]6[sin()()1(π-=ttf;(3))(2cos3)(3ttUtfπ=。解：周期信号必须满足两个条件:定义域Rt∈,有周期性,两个条件缺少任何一个,则就不是周期信号了.(1)是,sT32π=.(2))]32cos(1[213)(π--×=ttf,故为周期信号,周期sTππ==22.(3)因0〈t时有,0)(=tf故为非周期信号1111----6666化简下列各式：（1）1)12(∫∞--tdττδ;(2)()+)()4cos(ttdtdδπ;(3)∫∞∞-tdtttdtdsin)]([cosδ。解(1)原式=)21(21)21(21)](2[21-=-=-∫∫∞-∞-tuddttττδττδ(2)原式=)(22)](4[costtdtdδδπ′=•(3)原式=1cos)](nsi[sin)(00-=-=′-=′==∞∞-∫ttttdttδ1111----7777求下列积分：（1）dttt∫∞--0)]2()3(cos[δω;(2)dttejwt)3(0+∫∞δ;(3)∫∞--×002)(dtttetδ。解(1)原式=ωωωcos)cos()]32(cos[=-=-(2)原式=00)3(033=×=+∫∞--ωωδjjedtte(3)原式=00220021)(ttteedttte--∞-=×=-∫δ1111----8888试求图题1-8中各信号一阶导数的波形，并写出其函数表达式，其中)]5()([2cos)(3--=tUtUttfπ。解（a）)2()(3)1(2)(1-+-+=′tutututf，)(tf′的波形如图题1。8（d）所示。（b）)3()2(3)1(2)1()(2---+--+=′tututututf，)(2tf′的波形如图题1。8（e）所示。（c）)()]5()([2sin)(3ttututtfδπ+---=′,)(3tf′的波形如图题1.8（f）所示.1111----9999已知信号)21(f的波形如图题1-9所示，试画出y(t)=f(t+1)U(-t)的波形。解解解解)()1()(tutfty-+=的波形如图题1.9(b)所示。1111----10101010已知信号f(t)的波形如图题1-10所示，试画出信号∫∞--tdfττ)2(与信号)]26([tfdtd-的波形。解解解解(1))2(tf-的波形与∫∞--tdfττ)2(的波形分别如图题1.10(b),(c)所示。(2))26(tf-的波形与)]26([tfdtd-的波形分别如图题1.10(d),(e)所示。且)3(2)5.2()2()]26([---+-=-ttttfdtdδδδ1111----11111111已知f(t)是已录制的声音磁带，则下列叙述中错误的是(_C_)。A.f(-t)是表示将磁带倒转播放产生的信号B.f(2t)表示磁带以二倍的速度加快播放C.f(2t)表示磁带放音速度降低一半播放D.2f(t)表示将磁带音量放大一倍播放1111----12121212求解并画出图题1-12所示信号f1(t),f2(t)的偶分量fe(t)与奇分量fo(t)。解解解解因)]()([21)]()([21)()()(0tftftftftftftfe--+-+=+=式中)]()([21)()],()([21)(0tftftftftftfe--=-+=。故可画出各待求偶分量与奇分量的波形，相应如图题1.12中所示。1-13已知信号f(t)的偶分量fe(t)的波形如图题1-13(a)所示，信号f(t+1)×U(-t-1)的波形如图题1-13(b)所示。求f(t)的奇分量fo(t)，并画出fo(t)的波形。解解解解因)()()(0tftftfe+=故有)()()()()()(0tutftutftutfe-+-=-将信号)()(),()()11()11()1()1(1tutftutftutftutf--=+--+-──→─--+右移的波形如图题1.13(c)所示。又有)()()()()()(0tutftutftutfe---=-)()(0tutf-的波形如图题1.13(d)所示。因为)(0tf是奇函数，关于坐标原点对称，故)()(0tutf的波形如图题1.13(e)所示。最后得)1()1()()()()()(000----=+-=tutututftutftf)(0tf的波形如图题1.13(f)所示。1111----14141414设连续信号f(t)无间断点。试证明：若f(t)为偶函数，则其一阶导数f′(t)为奇函数；若f(t)为奇函数，则其一阶导数f′(t)为偶函数。解解解解（1）若)(tf为偶函数，则有)()(tftf=-.故)()(tftf′-=-′.故)(tf′为奇函数。(2）若)(tf为奇函数，则有)()(tftf-=-.故)()(tftf′-=-′，即)()]([)]([)(tftftftf′=′--=-′-=′.故)(tf′为偶函数。1111----15151515试判断下列各方程所描述的系统是否为线性的、时不变的、因果的系统。式中f(t)为激励，y(t)为响应。(1))()(tfdtdty=(2)y(t)=f(t)U(t)(3)y(t)=sin[f(t)]U(t)(4)y(t)=f(1-t)(5)y(t)=f(2t)(6)y(t)=[f(t)]2(7)∫∞-=tdftyττ)()((8)∫∞-=tdfty5)()(ττ答答答答(1)线性，时不变，因果系统(2)线性，时变，因果系统。因为当激励为)(tf时，其响应)(ty；当激励为)(0ttf-时，其响应为)()()(01tuttfty-=，但是)()(10tytty≠-，所以系统为时变系统。(3)非线性，时变，因果系统。(4)线性，时变，非因果系统。因为当0=t时有)1()0(fy=，即系统当前时刻的响应决定于未来时刻的激励，故为非因果系统。(5)线性，时变，非因果系统。(6)非线性，时不变，因果系统。因为当激励为)(tf时，响应为)(ty；当激励为)(tkf时，响应为21)]([)(tkfty=，但)()(1tkyty≠，故该系统为非线性系统。(7）线性，时不变，因果系统。(8)线性，时变，非因果系统。1111----16161616已知系统的激励f(t)与响应y(t)的关系为τττdefetytt∫∞--=)()(，，，，则该系统为(_A_)。A线性时不变系统B线性时变系统C非线性时不变系统D非线性时变系统1111----17171717图题1-17(a)所示系统为线性时不变系统，已知当激励f1(t)=U(t)时，其响应为y1(t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。若激励为f2(t)=U(t)-U(t-2)，求图题117(b)所示系统的响应y2(t)。解解解解+-+-----+--=)]3()2(2)1([2)2()1(2)()(2tututututututy=-+-----+---)6()5(2)4([)]5()4(2)3([2tutututututu)6()5(4)4(5)2(5)1(4)(---+---+--tutututututu)(2ty的波形如图题1.17(c)所示.1111----18181818图题1-18(a)所示为线性时不变系统，已知h1(t)=δ(t)-δ(t-1),h2(t)=δ(t-2)-δ(t-3)。（1）求响应h(t)；（2）求当f(t)=U(t)时的响应y(t)（见图题1-18(b))。解解解解（（（（1111））））)3()2()1()()()()(21-+----=-=ttttthththδδδδ(2)(2)(2)(2)因∫∞-==tdtutfττδ)()()(，故根据现行系统的积分性有)3()2()1()(])3()2()1()([(()(-+----=-+----==∫∫∞-∞-tutututuddhtyttττδτδτδτδττ1111----19191919已知系统激励f(t)的波形如图题1-19(a)所示，所产生的响应y(t)的波形如图题1-19(b)所示。试求激励f1(t)（波形如图题1-19(c)所示）所产生的响应y1(t)的波形。解解解解用)(tf表示)(1tf即)1()1()(1--+=tftftf故)(1tf在同一系统中所产生的响应为)1()1()(1--+=tytyty故)(),1(),1(tytyty-+的波形分别如图题1.19(d),(e),(f)所示。1111----20202020已知线性时不变系统在信号δ(t)激励下的零状态响应为h(t)=U(t)-U(t-2)。试求在信号U（t-1)激励下的零状态响应y(t)，并画出y(t)的波形。解解解解因有∫∞-=tdtuττδ)()(，故激励)(tu产生的响应为∫∫∞-∞-=--==ttduudhtyτττττ)]1()([)()(1∫∫∞-∞-=--ttduduττττ)1()(≥〈≤-〈=---3231110)1()1()(tttttutttu故激励)1(-tu产生的响应为)2()2()1()1()1()(1-----=-=tuttuttyty)(ty的波形如图题1。20所示。1111----21212121线性非时变系统具有非零的初始状态，已知激励为f(t)时的全响应为y1(t)=2e-tU(t)；在相同的初始状态下，当激励为2f(t)时的全响应为y2(t)=(e-t+cosπt)U(t)。求在相同的初始状态下，当激励为4f(t)时的全响应y3(t)。解解解解设系统的零输入响应为)(tyx，激励为)(tf时的零状态响应为)(tyf，故有)(2)()()(1tuetytytytfx-=+=)()cos()(2)()(2tutetytytytfxπ+=+=-故联解得)()cos3()(tutetytxπ-=-)()cos()(Tutetytfπ--=-故得)()cos3()cos(4cos3)(4)()(3tutetetetytytytttfxπππ+-=+-+-=+=---