四、渐开线与摆线

四、渐开线与摆线讲授新课1.渐开线探究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？讲授新课我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件.如图，设开始时绳子外端(笔尖)位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角(单位是弧度)的一段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM的长就是AB的长，这是动点(笔尖)满足的几何条件.我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.OABMφ几何画板讲授新课根据动点满足的几何条件:我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系(图).设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x,y).显然，点M由角惟一确定.ABBM()(cossin)(cossin)||.OOAxrMxyMBrrBMxryrBMr我们以基圆圆心为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.设基圆的半径为，绳子外端的坐标为，，显然，点由角唯一确定.取为参数，则点的坐标为，，从而，，122(cossin)(sincos)()(cossin)()(sincos).(cossin)()(sincos)eOBeBMBMrexryrrxryr由于向量，是与同方向的单位向量，因而向量，是与向量同方向的单位向量，所以，，解得:为参数这就是圆的渐开线的参数方程.讲授新课)()cos(sin)sin(cos是参数ryrx:圆的渐开线的参数方程渐开线的应用：由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力.2(sincos)eBM在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到“向量，与向量有相同方向”这一结论，你能说明这个结论为什思考：么成立吗?12122(cossin)(sincos)cossinsin(cos)0.//.eeeeBMe，，，即:讲授新课2.摆线思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？讲授新课如图，假设B为圆心，圆周上的定点为M，开始时位于O处.圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动，转过(弧度)角后，圆与直线相切于A，线段OA的长等于MA的长，即OA=r.这就是圆周长上的定点M在圆B沿直线滚动过程中满足的几何条件.我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线.BDACMxyO摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。几何画板E()sincos.(sinxMrMxABMABxCDMxyMxODOADAOAMCrryDMACABCBrrxr我们取定直线为轴，定点滚动在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为，设开始时定点在原点，圆滚动了角后与轴相切于点，圆心在点，从点分别作，轴的垂线，垂足分别为，，设点的坐标为，取为参数，根据点满足的几何条件，所以，摆线的参数方程为：)().(1cos)yr为参数讲授新课摆线的参数方程是因此,(sin),()(1cos)xryr是参数(1)在摆线的参数方程中，参数的取值范思考：围是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？[0);22().rrr参数的取值范围是，一个拱的宽度是，高度是其中是滚动圆的半径[2011·江西理数10]如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()A几何画板分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半，则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈，则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．NMyxNM半圈一圈一圈半两圈MN22:1时一个点的内摆线4:1时一个点的内摆线（星形线）P44【解析】如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧AM与小圆圆弧AM相等．以切点A在劣弧MB上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧AM的长为l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧1AM的长为l2＝2θ×12＝θ，即l1＝l2，∴小圆的两段圆弧AM与1AM的长相等，故点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选A.课堂练习1.如图，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是225mm，求齿廓线AB所在的渐开线的参数方程.P42解：根据题意可知，基圆半径为2252r，故参数方程为225(cossin)2225(sincos)2xy，（为参数）。2.当时，求出渐开线上的对应点A,B,并求出A，B的距离.,cossin()sincosxy是参数3,22解：把3,22代入渐开线(cossin)(sincos)xy，求得A、B两点坐标分别为（,12）和3(,1)2，所以根据两点间距离公式可得：2223||()(11)2122AB．3.有一个半径是a的轮子沿着直线轨道滚动,在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是b(ba),求点M的轨迹方程.yxDAOBMCBM４.一个半径是4r的定圆O和一个半径是r的动圆C相内切.当圆C沿圆O无滑动地滚动时,探求圆C上定点M(开始时在点A)的轨迹的参数方程.AMCOP44内摆线（星形线）4:1BxyD小结：1.圆的渐开线，渐开线的参数方程；2.平摆线、摆线的参数方程.)()cos(sin)sin(cos是参数ryrx(sin),()(1cos)xryr是参数