全等三角形证明经典50题(含答案)

1、已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE2、已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC3、如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．4．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA5．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．PEDCBAFAEDCB6．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．7．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：8．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．OEDCBAFEDCBA25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。FEDCBA证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF∴△AED≌△BFC（SAS）26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。MFECBA证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。DCBA∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CFFDCBA在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。FEDCBA∵AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证明：连接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS）∴CF=BE31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）∵BE=DF∴：△ABE≌△CDF（SAS）32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。连接BD；∵AB=ADBC=D∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC；∵BC=DCE\F是中点∴DE=BF；∵AB=ADDE=BF∠ADC=∠ABC∴AE=AF。33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．654321EDCBA证明：在△ADC，△ABC中∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCADBCcAFE∴△ADC≌△ABC（两角加一边）∵AB=AD，BC=CD在△DEC与△BEC中∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）∴∠DEC=∠BEC34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．∵AD=DF∴AC=DF∵AB//DE∴∠A=∠EDF又∵BC//EF∴∠F=∠BCA∴△ABC≌△DEF（ASA）35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．证明：ACBDEF∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)∴BE=CD36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF．证明：∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED与∠AFD=90°在△AED与△AFD中∠EAD=∠FADAD=AD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD（AAS）∴AE=AF在△AEO与△AFO中AEBDCF∠EAO=∠FAOAO=AOAE=AF∴△AEO≌△AFO（SAS）∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF37.已知：如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？∵AD⊥AB∴∠BAC=∠ADE又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E根据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAE∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）∴AD=AB=538．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MCBCMAFEDCBAE证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵ME⊥AB，MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF∴△BME≌△CMF（AAS）∴MB=MC．39.如图，给出五个等量关系：①ADBC②ACBD③CEDE④DC⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA求证：△DAB≌△CBA证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA又∵AB=AB∴△DAB≌△CBA40．在△ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌CEB；②BEADDE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。AEBMCFFBCAMNE1234证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF在△ABF和△CDE中,AB=DE∠A=∠DAF=CD∴△ABF≡△CDE（边角边）∴FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF∴四边形BCEF是平行四边形∴BC‖EF44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN∴AE为公共,∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE为公共边∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如图,已知:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．证明：∵AD是△ABC的中线BD=CD∵DF=DE（已知）∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC则∠EBD=∠FCD∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF．求证：ABCD∥．证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠CED=∠AFB=90º又∵AB=CD，BF=DE∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）∴AF=CE∠BAF=∠DCE∴AB//CD47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD.3421DCBA∵,∠3=∠4∴OB=OC在△AOB和△DOC中∠1=∠2OB=OC∠AOB=∠DOC△AOB≌△DOC∴AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB在△ACB和△DBC中AC=DB,∠3=∠4BC=CB△ACB≌△DBCADECBF∴AB=CD48、(10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.CEDE。当∠AEB越小，则DE越小。证明：过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB90°∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB90°△DFB中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/245°RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF45°∠AFB=90°-∠FBA45°∴ABAF∵AB=CEAF=DE∴CEDE49、(10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.∵AB=DC,AC=DB，BC=BC∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB又∵BE=CE，AB=DC∴△ABE≌△DCE∴AE=DE50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．ACEDBABECD作CG⊥AB,交AD于H,则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA,∠BCE=90º-∠CDA∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB,∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE,