最小二乘法圆拟合

最小二乘法圆拟合1.最小二乘法圆拟合原理1.1理论最小二乘法(LeastSquareMethod)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。1.2最小二乘圆拟合模型公式推导在二维平面坐标系中，圆方程一般可表示为:22020)(ryyxx（1）对于最小二乘法的圆拟合，其误差平方的优化目标函数为：212020)()(niiiryyxxS式中：iiyx,ni,...,2,1为圆弧上特征点坐标；n为参与拟合的特征点数。在保持这优化目标函数特征的前提上，我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方，且其避免了平方根，同时可得到一个最小化问题的直接解，定义如下:2122020)()(niiiryyxxE（2）则（2）式可改写为：2122002200222niiiiiryyyyxxxxE（3）令,02yB,02xA22020ryxC即（3）式可表示为：2022niiiiiCByAxyxE由最小二乘法原理，参数A,B,C应使E取得极小值。根据极小值的求法，A,B和C应满足02022iniiiiixCByAxyxAE(4)02022iniiiiiyCByAxyxBE(5)02022niiiiiCByAxyxCE(6)求解方程组，先消去参数C,则式niixn064得0002202030000002niiniiiniiiniininiiiniiininiiiniixyxyxnxnByxyxnAxxxn（7）式niiyn065得0002202030002000niiniiiniiiniininiiiniininiiiniiiyyxyxnynByyynAyxyxn（8）令nininiiiixxxnM000211（9）niniiiniiiyxyxnMM0002112（10）niniiiniiyyynM000222（11）niiniiiniiiniixyxyxnxnH002202031（12）niiniiiniiiniiyyxyxnynH002202032（13）将（7），（8）式写成矩阵形式2122211211HHBAMMMM（14）根据式（14）和式（6）可得：21122211221122MMMMMHMHA22112112211112MMMMMHMHBnByAxyxCniiiii022从而求得最佳拟合圆心坐标00,yx，半径r的拟合值:20Ax,20By,CBAr421222.仿真数据分析首先设置仿真圆心(x0,y0),半径R0，在根据实际数据任意选取一段圆弧，产生N组随机数据。考虑实际测量的点云数据中伴随有一定高斯躁白声，因此在每个点添加服从高斯分布2,0N的随机数作为噪声，其中2为高斯分布的方差(单位：2mm)，在噪声标准差()下产生N组随机噪声数据。最后利用最小二乘法原理对仿真得到的N组随机噪声数据进行拟合，并分析其半径误差与圆心误差。下面任取圆上pi*35/180到6*pi/7圆弧段，以仿真圆心（8.116mm，2.695mm），半径0.875mm作实例分析。在matlab软件中得到的仿真数据效果图图2所示：图2利用仿真的得来的数据（选取某一截面）用最小二乘法进行拟合，得到其拟合效果图如图3所示:图3