浅谈柯西不等式的应用及推广

浅谈柯西不等式的应用及推广【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。【关键词】柯西（Cauchy）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学【Abstract】Cauchy-inequalityanalyzedbyprovingandextending,appliedbyprovinganinequationandfindingasolutiontoanequationorthemaximumvalue&minimumvalueoffunction.ThenCauchy-inequality'ssomequestionsappearedinmath-teachingofmiddleschoolwillbediscussed.【Keywords】Cauchy-inequality,themaximum&minimumvalue,inequation-teaching,funcoftriangle'sproving引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。1柯西不等式的证明[1][2]对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指niniiniiniiibaba,...,2,1121221当且仅当nnbababa...2211时，等号成立。1.1构造二次函数证明当021naaa或021nbbb时，不等式显然成立令niiaA12niiibaB1niibC12，当naaa,,,21中至少有一个不为零时，可知A0构造二次函数CBxAxxf222，展开得：02121222niiiniiiiibxabxbaxaxf故xf的判别式0442ACB移项得2BAC，得证。1.2向量法证明令nnbbbaaa,,,,,,2121，.则对向量,有1,cos，由nnbababa2211，niiniiba122122,，得.121221niiniiniiibaba当且仅当1,cos，即,平行时等号成立。1.3数学归纳法证明i)当n=1时，有2221211baba，不等式成立。当n=2时，221122222121222112babababababa212222212222212122212221bababababbaa因为2211212222212babababa，故有2221222122211bbaababa当且仅当1221baba，即2211baba时等号成立。ii）假设n=k时不等式成立，即222212222122211kkkkbbbaaabababa当且仅当kkbababa2211时等号成立。那么当n=k+1时，21212211112221121122112kkkkkkkkkkkkbabababababababababababa2122212122212121212212212121212222122221212122111122221222212kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkbbbaaabaabbaabbabbbaaababababababbbaaa2222122221nnbbbaaa当且仅当1112121111,,,kkkkkkkkabbaabbaabba时等号成立，即112211kkkkbabababa时等号成立。于是n=k+1时不等式成立。由i)ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。1.4利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数nnbbbaaa,,,;,,,2121有柯西—拉格朗日恒等式211222223322112133121221222112222122221nnnnnnnnnnnnbabababababababababababababababbbaaa由实数性质R02可得柯西不等式成立。以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。2柯西不等式的推广2.1命题1若级数niiniiba1212与收敛，则有不等式niiniiniiibaba121221。证明：niiniiba1212,收敛，niiniiniiibaba1212210iniiba1收敛，且niinniinniiinbaba121221limlimlim从而有不等式niiniiniiibaba121221成立。2.2命题2[3]若级数niiniiba1212与收敛，且对Nn有niiniiniiibaba121221，则对定义在ba,上的任意连续函数xgxf,有不等式dxxgdxxfdxxgxfbababa222证明：因为函数xgxf,在区间ba,上连续，所以函数xgxfxgxf22、、与在ba,上可积，将ba,区间n等分，取每个小区间的左端点为i，由定积分的定义得：xgdxxgxfdxxfxgdxxgxfdxxfininbaininbaniinbaniinba12212211lim,limlim,lim令12211221,gbfa，则niiniiba1212与收敛，由柯西不等式得niinniinniiinniiniiniiixgxfxgfxgxfxgf121221121221limlimlim,从而有不等式dxxgdxxfdxxgxfbababa222。2.3赫尔德不等式[4]设,0,0),,,2,1(,0,011qpniba满足,111qp则：qniqipnipiniiibaba11111，等号成立的充分必要条件是.0;,,2,1nibaqipi证明：首先证明111qp时，对任何正数A及B，有ABBqApqp11.对凹函数,lnxxf有：.11lnln1ln111lnABBqApABBqApBqApqPqpqP令,,1111qniqikpnipikbbBaaA代入以上不等式并对于nk,,2,1，把这n个不等式相加.,1111111111111qpbbqaapbabankniqiqknipipknkqniqipnipikk即qniqipnipiniiibaba11111成立。等号成立的充分必要条件是：,11niqiqinipipibbaa即.0;,,2,1nibaqipi3柯西不等式的应用我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样。柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。3.1在不等式的证明中，柯西不等式的作用柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并按照柯西不等式的形式进行探索。例1：设定义在R上的函数nannxfxxxx121lg，若,,1Nnao且,2n求证：xfxf22.分析：要证明xfxf22，即证：nannnannxxxxxxxx121lg2121lg2222只需证：nannnannxxxxxxxx12121212222证明：1222222222222121121111121xxxxxxxxxxxxnanannannn又因,,10Nna且,2n故21211xxxxann22222121121nannnannxxxxxxxx即nannnannxxxxxxxx121lg2121lg2222xfxf22例2：已知naaa,,,21为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式nnaaan121122221。证明：由柯西不等式得：nnnnaaanaaaanaaaaan111211121112112122221222112于是nnaaannnaaa11112111211212122221。又因为naaa,,,21为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小于你，这样就有1111121121naaan。所以有naaannn12111111211121121。因为nnaaannnaaa11112111211212122221而naaannn12111111211121121所以有nnaaan121122221。例3：设,,2,10niai则证明：nniinjjaaanaa2112121证明：由柯西不等式，对于任意的n个实数,,,,21nxxx有22122222221111nnxxxxxx即nxxxxxxnn22122221