求圆锥曲线离心率的几种方法

有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------1关于椭圆离心率设椭圆xaybab222210（）的左、右焦点分别为FF12、，如果椭圆上存在点P，使FPF1290，求离心率e的取值范围。解法1：利用曲线范围设P（x，y），又知FcFc1200（，），（，），则FPxcyFPxcyFPFFPFPFPFPxcxcyxyc1212121222229000()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得xacababFPFxaacababa2222222122222222229000但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）cbcaccaecaecae2222222221221[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------2又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此FPFPFPFFFcPFPFacPFPFuauac12122212221222122229042220||||||||||()||||()4801222222222aacecae()因此，e[)221解法3：利用三角函数有界性记PFFPFF1221，，由正弦定理有||sin||sin||sin||||sinsin||||||||sinsinsincoscosPFPFFFPFPFFFPFPFaFFceca121212121212902211222122又，，则有而知从而可得09002452221221||||cose有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------3解法4：利用焦半径由焦半径公式得||||||||||PFaexPFaexPFPFFFacxexacxexcaexcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222caeae得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF||||平方后得42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc||||||||(||||)||得ca2212所以有，）e[221解法6：巧用图形的几何特性由FPF1290，知点P在以||FFc122为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有cbcbac2222由此可得，）e[221有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------4演练一、直接求出或求出a与b的比值，以求解。在椭圆中，，1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为_____3.若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为____4.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为___5.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为___6..已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为____ac，eace22222221ababaacace)0,3(),0,1(21FF)0(,12222babyaxP21PFPFe)0.0(121nmnm12222nymx有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------57.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是_________8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为___________9.P是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，是椭圆的左右焦点，已知椭圆的离心率为_____10.已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率为_______11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为_______二、构造的齐次式，解出1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是____2．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是_____3．以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是_____4．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_____22221(0)xyabab1F2FxMN，12MNFF≤22ax22by21FF、,2,1221FPFFPF,321PFFe21FF、75,151221FPFFPF2ac，e有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------65．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是_____三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_______2．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，椭圆离心率e的取值范围为_______3．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，椭圆离心率e的取值范围为______4．设椭圆（ab0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º，椭圆离心率e的取值范围为_______5．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率____6．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是______-1F2F120MFMFM21FF、9021PFF21FF、6021PFF12222byaxABC△ABBC7cos18BAB，Ce12FF，22221xyab0ab,P1PF2F