第6章-习题(含答案)new

如图1所示一双跨对称的框架。几何尺寸及荷载见图中。底板厚度0.5m，材料的弹性模量E=2×107kN/m2，地基弹性模量E0=5000kN/m2。设为平面变形问题。绘出框架弯矩图。图1双跨矩形框架荷载计算简图[解]根据图1a建立简图b所示基本结构，假设A、D处的刚结点为铰结，将中央竖杆在底部断开，分别设未知力x1和x2。上部结构为两铰框架，下部结构为弹性地基梁。根据变形连续条件，列出力法方程：1111221121222200PPxxxx（一）求Δ1p即外荷载作用下，在x1方向上总的转角（框架和地基梁）。根据图c求两铰框架A处角变，求得：2222221222221248.38.2270.64kNm121283.6164.73164.7380.24kNm1230123083.6164.73164.73105.45kNm12201220FBCFBAFABqlMqlqlMqlqlM（注：固端弯矩顺时针转动为正）根据对称荷载作用下，两铰框架铰支座的角变公式（附表6-7（2））：2112264FFFBABCABKMMMKEKEKK1=I/4.73，K2=2.6I/8.2，故K2K1=1.50。得出两铰框架铰A处的角变为：80.24270.6421.5105.4570.43642.64.738.2AEIEIEI（逆时针方向，与x1反方向）地基梁A端的角变按下述方法计算：首先算出柔度指标t，忽略μ和μ0（分别为基础梁和地基的泊松系数）的影响，采用近似公式计算：3010EltEh式中：E、E0——地基和基础梁的弹性模量；l——地基梁的一半长度；h——梁截面高度。将图1a、d中的底板参数代入上式，则有：330750004.110101.382100.5EltEh（取t=1）据图1c，查两个对称集中荷载作用下基础梁的角变A，因α=ξ=1，故地基梁A的角变为：2AAPlEI（顺时针方向为正）则有：2198.034.1430.190.2521.95AEIEI（顺时针向，与x1反向）由此得：170.46430.19500.65PAAEIEI（二）求Δ2p即外荷载作用下，在x2方向上总的沉陷（框架和地基梁）。根据图1c，先求框架F点竖向位移F。图1b中框架部分的弯矩图见图2a。由于不考虑轴力对位移的影响，F点的竖向位移等于E点的竖向位移。因此，将图2a中的BC杆作为简支梁，按附表6-7（3）项、（6）项和（7）项计算。由此得F点的竖向位移为：图2弯矩图323334012222422422242.62.662362.648.35201.81201.813242.6162.61662.68548.38.2201.818.2441.2323842.6162.6FlllxxxqmmxxlxxlxlxxlxEIEIlEIllllEIEIEIEIEIEI（向下，与x2反方向）根据图1（c），求地基梁中点的竖向位移。由于t=1，α=1，ξ=0，查附表后得：200.2520.0360.0710.1050.1370.1670.1940.2170.2350.24722198.034.11074.370.411.95FEIEI（向上，与x2反向）因此，得：2441.231074.37757.8022FFPEI（三）求δ11即单位弯矩x1=1作用下，在x1方向上总的转角（框架和地基梁）。图1（d）中两铰框架A处的角变，由附表中的（1）项，因0,1FFFBABCABMMM，故得：21.511.38642.64.738.2AEIEIEI（顺时针方向，与x1同方向）在图1（d）中，求基础梁A端的角变。t=1，α=1，ξ=1，由基础梁查附表得：14.12.000.9521.95AEIEI（逆时针方向，与x1同方向）因此，得：111.382.003.38AAEIEIEI（四）求δ22即单位弯矩x2=1作用下，在x2方向上总的沉陷（框架和地基梁）。x2=1作用下，其弯矩图见图2b。由附表的6-7中（4）项、（6）项及（7）项，得两铰框架F点的竖向位移为：33232212,2222322.6662.662362.618.20.518.22.7722.6482.616FllllabxxxmmPbxbxxxlxxlblxEIllEIlEIlEIEIEI（向上，与x2同方向）图1（e）基础梁中点F的竖向位移，因t=1，α=1，ξ=0和α=ξ=0，由基础梁查附表得：2200.2520.0360.0710.1050.1370.1670.1940.2170.2350.247220.54.100.41[(0.0530.0980.1340.1620.1840.1990.2090.2151.9520.2180.54.15.510.217)0.4121.95FEIEIEI（向下，与x2同方向）因此，得：222.775.514.1422FFEIEI（五）δ12（或δ21）即单位弯矩x2=1作用下，在x1方向上总的转角（框架和地基梁）。图1（e）两铰框架铰A处的角变，因18.20,1.0258FFFABBABCMMM，由附表（1）项，得：1.0250.40642.64.738.2AEIEIEI（逆时针方向，与x1反方向）图1（e）中，基础梁A端的角变，t=1，α=1，ξ=1及α=0，ξ=1，查表得：220.54.10.54.12.030.2520.2181.951.95AEIEIEI（逆时针方向，与x1同方向）由以上计算结果，得：120.402.031.63AAEIEI根据位移互等定理知，δ12=δ21。（六）求未知力x1和x2将以上求出的各系数与自由项代入力法方程中，得：12123.381.63500.6501.634.14757.800xxxx解得：1273.88kNm153.96kNxx（七）求框架的弯矩图求两铰框架的弯矩图，可将图2（c）乘以x1，图2（b）乘以x2，然后叠加，再与图2（a）叠加，最终的弯矩图见图3。图3最终弯矩图（八）求地基梁的弯矩图图4地基梁所受的荷载地基梁受到的荷载分别为：两端竖向荷载Fp（图3a）、中柱竖向压力x2（图3b）、两端弯矩x1（图3c），各荷载绘制于图中，并对其进行编号。各荷载引起的弯矩，见表1。地基梁的弯矩分布图见图3。表1各荷载引起的弯矩荷载M弯矩备注编号数值αξ=0ξ=0.5ξ=1Mξ=0Mξ=1/2Mξ=1①198.031-0.18-0.210-146.15-170.500②198.03-1-0.18-0.080-146.15-64.950利用对称性③153.9600.290.090183.0656.810④-76.981-0.18-0.21056.8166.280⑤-76.98-1-0.18-0.08056.8125.250利用对称性⑥-73.881-0.46-0.79-133.9858.3773.88⑦-73.88-1-0.46-0.16033.9811.820利用对称性∑72.36-16.9373.88说明：1、关于M取值。参照附录3、4，荷载①（α=1），在中点处（ξ=0）引起的弯矩系数（M）为-0.18，在右端以左14处（即，ξ=12）引起的弯矩系数（M）为-0.21。利用对称性，荷载②（α=-1），在中点处（ξ=0）引起的弯矩系数（M）仍然为-0.18，在右端以左14处（即，ξ=12）引起的弯矩系数（M），则参照α=1、ξ=-12时的弯矩系数，即为-0.08；荷载⑤、⑦，同理。2、关于正负号。参照附录3、4，以集中荷载向下为正，梁右端顺时针弯矩为正。荷载①②作用下，将引起中间部分向上拱起，即上弦受拉、下弦受压，因此弯矩为负。荷载⑥⑦均将引起梁下弦受拉，故弯矩必将为正。附录1两个对称弯矩作用下地基梁的角变θ（附图1）lMxllllyM挠曲线注：α代表荷载的作用位置，ξ代表待求断面的位置附图1两个对称弯矩作用下地基梁的角变θ（1）转换公式：θ=表中系数×MlEI（顺时针方向）；（2）表中数字以右半梁为准，左半梁数值相同，但正负相反。（3）由于θ=dydx，故可根据表中系数用数值积分（梯形公式）求梁的挠度y，向下为正。例如，t=2，α=0.6，ξ=0.5处的挠度y（原点取在梁的右端）为:y=(-0.5372-0.532-0.530-0.528-0.5282)×MlEI×(-0.1l)=0.21225×MlEI（向下）附录2两个对称集中荷载作用下地基梁的角变θ（附图2）lPxllllyP挠曲线注：α代表荷载的作用位置，ξ代表待求断面的位置附图2两个对称集中荷载作用下地基梁的角变θ（1）转换公式：θ=表中系数×Pl2EI（顺时针方向）；（2）当只有1个集中荷载P作用在地基梁的中点处，使用上式时须用P2代替P；（3）表中数字以右半梁为准，左半梁数值相同，但正负相反；（4）由于θ=dydx，故可根据表中系数用数值积分（梯形公式）求梁的挠度y，向下为正。例如，t=0，α=0.7，ξ=0.4的挠度y（原点取在梁的右端）为:y=(0.0192+0.017+0.009+0.001-0.001-0.0032)×MlEI×(-0.1l)=-0.0034×MlEI（向上）附录3集中荷载作用下地基梁的弯矩M（附图3）附录4集中弯矩作用下地基梁的弯矩M（附图4）￥'