第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理

第3章§3.4静态场的边值问题及解的惟一性定理前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场，得到了这些场的位函数满足的微分方程和边界条件；并且在均匀线性媒质中，对一些简单的场源分布情况求出了场的解。但在工程中通常会遇到更复杂的情况，此时求解场的问题就须要解场的二阶偏微分方程，并满足一定的边界条件，即通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。求解边值问题的方法通常有解析和数值法。解析法包括镜像法、变量分离法、格林函数法、复变函数法等；数值法包括有限差分法、矩量法、有限元法等。本章主要讨论几种经典的解析法。1第3章3.4.1边值问题的类型边值问题包括位方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界条件，根据在场域V的边界S上的边界条件，边值问题类型有：第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值1SfS如果f1(S)=0称为齐次边界条件狄里赫利问题2SfSn第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。121122,SSfSfSn纽曼问题混合边值问题第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数2第3章涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。3.4.2解的唯一性定理对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。•解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。•解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。•解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。自然边界条件如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有rrlim有限值它表明在无限远处位函数取值为零。电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。3第3章静电场唯一性定理的表述对于三类边值问题中的任何一类，在满足泊松方程（或拉普拉斯方程）和边界条件下，无论用什么方法所得的解都是正确的，且是唯一的。静电场唯一性定理的证明设有两个解1和2，分别满足方程2212和0122000()VVdVdV则在V内2220120令在格林第一恒等式中，令则02000()SVddVS2200000()4第3章对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有01201200SSSSSSnnn和SVdSdVn20000()0001212C和只相差一个常数112212EEEE设　　和　　　＝12和描述同样的电场，所以场分布是唯一确定的。对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。唯一性定理的意义：5第3章§3.5镜像法依据：唯一性定理，若能找到一个函数既满足该问题的微分方程，又满足该问题的边界条件，则它一定是场的真解，且唯一。关键和原则：确定像电荷（像电流）的位置、个数和电量大小以及电流的流向等，但必须满足场区域的边界条件且像电荷（或像电流）只能置于求解区域外。3.5.1接地导体平面的镜像例1、求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。基本思想：在研究的区域外，用一些假想电荷（电流）代替边界面处复杂的、未知的感应电荷、极化电荷或电流。用假想电荷（电流）与原有电荷（电流）一起产生的场来满足原来的边界条件，那么它们的电位（磁矢位）的叠加就是解6第3章在导体上方，在导体表面处，200|0z分析：导体平面上空的电场是由点电荷和导体表面的感应电荷共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。q设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷（像电荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入后，就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。qq7第3章用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响，则z0空间任一点P的电位由q及q'共同产生，即解：222220001()444()()qqqqπrπrπxyzhxyzh000|044zqqqqrr即像电荷q'与原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了导体上的感应电荷。011[]4qrr在z0区域内，P点的电位为2221/22221/2[()][()]rxyzhrxyzh8第3章3333330001111,,444xyzqxqyqzhzhEEErrrrrr00002223/2||2()SzzzqhEzxyh则，面密度导体表面总的感应电荷：2223/2223/202()22()SqhdxdyqdSxyhqhdqh330[]4qrrErr在z0区域内，电场为9第3章电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。说明：应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。例2、求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的长直线电荷的电位。10第3章20(),0;0,0zz除源电荷所在位置外lzx=∞hl′-h显然可将感应电荷的作用用位于－h处的镜像线电荷l′＝－l替代。显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。RR′考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z0区域，原方程不变，且有原问题(,)Pxz11(lnln)ln2'2llRRRR022llRRCRlnln均匀带电直线的电位分布2222()ln02()lxzhzxzh，　000zzRR，11第3章例3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q位于(d1,d2)处。显然，q1对平面2以及q2对平面1均不能满足边界条件。1231111()4qRRRR对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1,d2)对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于(d1,－d2)只有在(－d1,－d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。电位函数qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d112第3章对于非垂直相交的两导体平面构成的边界也可应用镜像法。例如，夹角为的导电劈需引入5个镜像电荷。3π1）若夹角为，则所有镜像电荷数目为2n-1个。nxq3π=π3qqqqqq注意：2)n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。13第3章3.5.2、导体球面镜像法例1、如下图所示，一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处（da)，求球外任一点的电位。分析：球外电场是电荷q与导体球面感应电荷产生的，但感应电荷未知。00'4R4qqrPqarRd球面上的感应电荷可用镜像电荷q'来等效。q'应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d'。则有14第3章接地导体球面上任一点电位00'044qqRr在上式中q'和d'是待求量。'0qqdaad2',aaqqddd解得总的感应电荷sSaqdsqd220223/2()|4(2cos)sraqdaraadad222402022cos/2(/'4R4)coRsqqrrrdrddradrad取球面上的A、B两点，得可确定q',d'的两个方程：'0qqdaad15第3章讨论：qOrRd(,)Pr1）导体球不接地：导体球面为等位面但电位不为0；球面上存在正、负感应电荷,但感应电荷总量为0。处理方法：电位叠加原理：1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q'的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。2、为了满足电荷守恒原理。断开接地线，将电量为-q'的电荷加到导体球面上，使这些电荷均匀分布在球面上，使导体球为等势体，且表面总电荷为零。3、对于均匀分布在球面上的-q'电荷，可用另一个镜像电荷q=-q'代替，但必须位于球心。2,aaqqddd16第3章q'qOr'rRd'd(,)Pr''q结论：点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：镜像电荷1：电量：'aqqd位置：2'add镜像电荷2：电量：'''aqqqd位置：位于球心。1'''[]4'qqqRrr球外空间某点电位为：001''44qqad球面上电位为：17第3章图1.点电荷与接地导体的电场图2.点电荷与不接地导体的电场2）若导体球不接地，且带电荷Q，求球外的电场。像电荷q′位置和大小同上，像电荷q″的位置也在球心，但q″=Q+qa/d。18第3章3）若一点电荷q位于一个半径为a的接地导体球面内，距球心d处（da)，求球内任一点的电位。以上问题是例1的反演类似地，可以求得镜像电荷：'aqqd电量：2'add位置：22242201[],()42cos/2(/)cosqarardrddradrad球壳内电位：球壳外电位：0()ra19第3章在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b处，平行放置一根镜像线电荷，代替圆柱导体上的感应电荷.l1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布以r0为参考点，则电位001dlnln2π2πrllrrErCrr3.5.3、圆柱面镜像法（电轴法）2πlrerE复习：已知一条无限长线电荷产生的电场为20第3章若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点，则及在圆柱面上P点共同产生的电位为l0rll22221ln22cos'1ln022coslraladadCabab上式对任意的均适用，因此对求导，可得2222()''(')0'0lllldaddad2222()'()2(')cos0lllldadbadadb由于上式对任意的均成立，故2'/llbad（电量）（位置）21第3章圆柱面外的电位函数：2242222cosln22cosldadaCddd由时，a0故2242222222cosln22cosldadaaadda导体圆柱面上的感应电荷面密度为2222()2(2cos)lSadaaadad导体圆柱面上单位长度的感应电荷为222220()dd22coslinSlSdaaSaadad导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。ln2ldCa22第3章图1两平行圆柱导体haha-ll图2两平行圆柱导体的电轴lblhhbaa特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为、且相距为2b的两根无限长带电细线来等效替代，如图2所示。l问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长度分别