初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题监利县第一初级中学刘光杰折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD=度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC=∠GBC，∠EBD=∠HBD则∠CBD=90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF=12AA’，又DE∥BC，得到△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积=24初中数学中的折叠问题QQ:15198195212对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长．由勾股定理可得BD=5，由对称的性质得△ADG≌△A’DG，由A’D=AD=3，AG’=AG，则A’B=5–3=2，在Rt△A’BG中根据勾股定理，列方程可以求出AG的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE，∠EBF=∠CBF，据此即可求出∠FBC的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB=112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1=∠2∵AD∥BC，∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴FB=FD设FD=x，则FB=x，FA=8–x在Rt△BAF中，BA2+AF2=BF2∴62+(8-x)2=x2解得x=254所以，阴影部分的面积S△FBD=12FD×AB=12×254×6=754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1=度；△EFG的形状三角形．∵四边形CDFE与四边形C’D’FE关于直线EF对称∴∠2=∠3=64°321FEDCBA54132GD‘FC‘DBCAEGA'CABD初中数学中的折叠问题QQ:15198195213∴∠4=180°-2×64°=52°∵AD∥BC∴∠1=∠4=52°∠2=∠5又∵∠2=∠3∴∠3=∠5∴GE=GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF=12，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’=60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’=60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’=GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B初中数学中的折叠问题QQ:15198195214落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE=x，则BE=GE=4-x，在Rt△AEG中，根据勾股定理有：AE2+AG2=GE2即：x2+4=(4-x)2解得x=1.5，BE=EG=4–1.5=2.5∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3又∵∠A=∠D=90°∴△AEG∽△DGP∴AEDG=EGGP，则1.52=2.5GP，解得GP=103PH=GH–GP=4-103=23∵∠3=∠4，tan∠3=tan∠1=34∴tan∠4=34，FHPH=34，FH=34×PH=34×23=12∴CF=FH=12∴S梯形BCFE=12(12+52)×4=6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．(1)BB’=MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’≌△HNM(2)MB’=MB=y，AM=1–y，AB’=x在Rt△ABB’中BB’=AB2+AB'2=1+x2因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ=B’Q，则BQ=121+x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA=BQ×BB’∴y=121+x2×1+x2=12(1+x2)(3)梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等PC'NBCADMB'QPHC'NBCADMB'初中数学中的折叠问题QQ:15198195215由(1)可知，HM=AB’=x，BH=BM–HM=y–x，则CN=y-x∴梯形MNCB的面积为：12(y–x+y)×1=12(2y-x)=12(2×12(1+x2)–x)=12(x-12)2+38当x=12时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α=∠1，∠2=∠1∴∠α=∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为作CD⊥AB，∵CE∥AB，∴∠1=∠2，根据翻折不变性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°，∴在Rt△ADC中，AC=22，AB=22S△ＡＢＣ＝12AB×CD=22a2130°BEFACD初中数学中的折叠问题QQ:15198195216在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是如图，作QH⊥PA，垂足为H，则QH=2cm，由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60°由折叠的性质，得∠DPA=∠PAQ，∴∠APQ=60°，又∵∠PAQ=∠APQ=60°，∴△APQ为等边三角形，在Rt△PQH中，sin∠HPQ=HQPQ∴32=2PQ，则PQ=433注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）图c图b图aCDGFEACGDFEAFDBCAEBB∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中，GE=GF，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG初中数学中的折叠问题QQ:1519819521715．将一张长为70cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）设AB=xcm．右图中，AF=CE=35，EF=x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x（cm）．则有2（35-x）+x=60，x=10．16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm，下底等于纸条宽的2倍，即6cm，两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的2倍，即6cm，故超出点P的长度为（30-15）÷2=7.5，AM=7.5+6=13.5GEFDAEFDBCABC60cm初中数学中的折叠问题QQ:15198195218三、三角形中的折叠17．如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=18．在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的14．（1）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“CD等于a”的限制条件下）：①AC边的长可以等于a；②折叠前的△ABC的面积可以等于32a2；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．(1)∵CD=12AB∴∠ACB=90°∵AB=2a，BC=a，∴AC=3a∴S△ABC=12×AC×BC=32a2∴重叠部分的面积为：14×32a2=38a2(2)若AC=a，如右图∵AD=a，∴∠2=180°-30°2=75°∠BDC=180°-75°=105°∴∠B'DC=105°∴∠3=105°-75°=30°∴∠1=∠3∴AC∥B'D∴四边形AB'DC是平行四边形∴重叠部分△CDE的面积等于△ＡＢＣ的面积的14若折叠前△ABC的面积等于32a2过点C作CH⊥AB于点H，则12×AB×CH=32a2B'CDAB231EB'CDBA初中数学中的折叠问题QQ:15198195219CH=32a又tan∠1=CHAH∴AH=32a∴BH=12a则tan∠B=CHBH，得∠B=60°∴△CBD是等边三角形∴∠2=∠4∴∠3=∠4，AD∥CB2又CB2=BC=BD=a，∴CB2=A