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二次函数的应用麻城市中驿中心学校吴建猛2014年中驿中心学校复习备考系列（专题复习）二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．专题：函数的应用一（利用二次函数求最值）例、（2007年荆州市）某文具零售店老板到批发市场选购A、B两种文具，批发价分别是12元／件，8元／件．若该零售店的A、B两种文具的日销售量y（件）与零售价x（元／件）均成一次函数关系（如图）．⑴求y与x的函数关系式；⑵该店老板计划这次选购A、B两种文具的数量共100件，所花资金不超过1000元，并希望全部售完后获利不低于296元．若按A种文具日销售量4件和B种文具每件可获利2元计算，他这次有哪几种进货方案？⑶若A种文具的零售价比B种文具的零售价高2元／件，求两种文具每天的销售利润W（元）与A种文具的零售价x（元／件）之间的函数关系式，并说明A、B两种文具的零售价分别为多少元时，每天的销售利润最大？ww1．（99黄冈）某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；按每件25元销售时，每月能卖210件.假定每月销售的件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.(1)试求y与x的函数关系式；(2)如果以每件x元销售时，每月可获得销售利润元，试写出与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；(3)这批日用品应如何定价才能使利润最大？最大利润为多少？2.（2006•淮安）东方专卖店专销某种品牌的钢笔，进价12元/支，售价20元/支．为了促销，专卖店决定凡是买10支以上的，每多买一支，售价就降低0.10元（例如，某人买20支计算器，于是每只降价0.10×（20-10）=1元，就可以按19元/支的价格购买），但是最低价为16元/支．（1）求顾客一次至少买多少支，才能以最低价购买？（2）写出当一次购买x支时（x＞10），利润y（元）与购买量x（支）之间的函数关系式；（3）有一天，一位顾客买了46支，另一位顾客买了50支，专实店发现卖了50支反而比卖46支赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/支至少要提高到多少，为什么？4.（2006荆门）某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．（1）求y关于x的函数关系式；（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？5.某服装经销商甲库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年刚好卖完．现市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情相互不受影响）．目前有一可进B品牌服装的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是经销商手头无流动资金可用，只有折价转让A品牌服装，经与销售商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100价格（元/套）240250260270280290300310320330340350现在经销商甲面临三种选择：方案一：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；方案二：全部转让A品牌服装，用转让得来的资金一次性购入B品牌服装后，经销B品牌服装；方案三：为谋求更高利润，部分转让A品牌服装，用转让来的资金一次性购入B品牌服装后，经销B品牌服装，同时也经销A品牌服装．问：（1）如经销商甲选择方案一，则他在一年内能获得多少利润？（2）如经销商甲选择方案二，则他在一年内能获得多少利润？（3）经销商甲选择哪种方案可以使自己在一年内获得最大利润？并求出此时他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少？此时他在这一年内共得利润多少元？销售单价x(元/件)…30405060…每天销量y(件)…500400300200…6.为了抵御金融风暴，广东某出口企业调整策略，加大产品研发，设计了一款适合国内外消费者需求的产品，即成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，得到如下数据：(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，该企业试销试工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(利润=销售总价-万本总价)(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价为多少时，该企业试销该工艺品每天获得的利润最大？7.（2005•南平）某公司2005年1-3月的月利润y（万元）与月份x之间的关系如图所示．图中的折线可近似看作是抛物线的一部分．（1）根据图象提供的信息，求出过A、B、C三点的二次函数关系式；（2）公司开展技术革新活动，定下目标：今年6月份的利润仍以图中抛物线的上升趋势上升．6月份公司预计将达到多少万元？（3）如果公司1月份的利润率为13%，以后逐月增加1个百分点．已知6月上旬平均每日实际销售收入为3.6万元，照此推算6月份公司的利润是否会超过（2）中所确定的目标？12.（2008广东佛山）如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米.现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？专题：函数的应用二（分段函数）例4、旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？8.（2010泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式．（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？9.红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a4）给希望工程。公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围。10.（2007随洲）某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车可达1440辆次；若停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元．（日净收入=每天共收取的停车费-每天的固定支出）（1）当x≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？11.(2011湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的车流密度达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数。（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x·v（x）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）人数不超过25人超过25人但不超过50人超过50人人均旅游费1500元每增加1人，人均旅游费降低20元1000元13.（2009营口）面对国际金融危机，某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下标准：某单位组织员工去该风景区旅游，设有x人参加，应付旅游费y元．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)若该单位现有45人，本次旅游至少去26人，则该单位最多应付旅游费多少元？xx15.（2007台州）善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好。某一天小迪有20分钟时间可用于学习。假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间。（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？之间的函数关系式；的函数关系式；Ox21Ox16410（第15题图1）（第15题图2）专题：函数的应用三（在自变量不同、取值范围不同时求最值）例、茶农张大爷种有茶树共50亩，其中丘陵地20亩，山地30亩，每亩丘陵地产量y1(千克)与投资x（百元）之间的函数关系式为：每亩山地产量y1(千克)与投资x（百元）之间的关系如图所示，张大爷现在总投资金240（百元）。(1)试求张大爷每亩丘陵山地投资600元和每亩山地投资600元时茶叶的总产量分别是多少千克？(2)写成张大爷家茶叶总产量(3)当x取何值时，茶叶的总产量最高？最高产量为多少千克？w(千克)与丘陵地每亩投资x（百元）之间的函数关系式,并指出x的取值范围；x（万盒）06040501002、(2012年黄冈调研本题满分12分)某公司生产一种健身自行车在市场上受到普遍欢迎，在国内市场和国外市场畅销，生产的产品可以全部出售，该公司的年生产能力为10万辆，在国内市场每辆的利润y1(元)与其销量x(万辆)的关系如图所示；在国外市场每辆的利润y2(元)与其销量x(万辆)的关系为：230320(06)180(610)xx