72第6章 多元函数微积分

168第6章多元函数微积分一典型例题解析例1已知dxxyaxycos23+dyyxxby223sin1为某一函数yxf,的全微分，求a、b之值。分析由全微分定义可知，xf=xyaxycos23，yf=223sin1yxxby，要求出a、b之值，需建立某些相等关系，联想到00()()(,),xyyxfx,yfx,yxy若和都在点连续则两个二阶混合偏导数相等。解由题设有yxdf,=dyyfdxxf=dxxyaxycos23+dyyxxby223sin1即,xfxy=xyaxycos23，,yfxy=223sin1yxxby,xyfxy=xyaxycos232，,yxfxy=26cosxyxby易见,xyfxy,yxfxy、均为连续函数，故,xyfxy=,yxfxy故263ba，即22ba。例2设(,,),(,),(,)ufxyzyxttxz，各函数满足求导条件，求ux，uz。解法1uffyfzxxyxzxffyxyx，yxxtx，ufffxxyxytx，ufxfyfzxzyzzfyfyzz，yxzxztztzuffzytzz解法2用全微分来解fffdudxdydzxyz[]fffdxdxdtdzxyxtz169[()]fffdxdxdxdzdzxyxtxzz()fffdxxyxytx()ffdzytzzufffxxyxytx，uffzytzz例3设(,)zfxyzxyz，求,,zxxxzy。解法1zx1f1zx2fzyzxyx，121211fxyfzxfxyf，11f1xz2fxyzxyz，12121fxyfxzfyzf，01f1xy2fxyzxzy，1212fxzfxyfyzf解法2利用全微分形式不变性同时求出各偏导数(,)zfxyzxyz，dz1fdddxyz2fdddyzxxzyxyz解出:dx121212d1ddfxzfyfxyfzxfyzf由dy，dz的系数即可得1212fxzfxyfyzf，12121fxyfxzfyzf例4已知2(,)1yxfxy，21(,)2yxfxyx，求22(,)yxfxy。解由2(,)1fxx两边对x求导,得2212(,)(,)20fxxfxxx，因21(,)2fxxx，故22(,)1fxx。例5求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者。解设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则2xyz，0,0,0xyz，它们所对应的三个三角形面积分别为2112sinSRx，2122sinSRy2132sinSRz，170设拉氏函数sinsinsin(2)Fxyzxyz，解方程组cos0cos0cos020xyzxyz，得23xyz，故圆内接正三角形面积最大,最大面积为2max23sin23RS2334R。xyz例6计算22,:,2,1DydxdyDyxyxyx解2y1xyyx1:12xyyDy，Y—型22Dydxdyx22121yyydydxx22319()4yyydy注若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范围内有不同的表达式，须分区域积分，计算较麻烦。以下两种解法是错误的：171（1）22Dydxdyx2221122xydxdyx（2）22Dydxdyx222122xydxdyx错误的根源当先对y积分时，在变量x的变化范围1,22内，作与x轴垂直的任意直线，上方交于一条直线2y，而下方交于两条曲线：1xy和yx，不能有一个积分式子得到结果。若先y后x积分，应如下解：22Dydxdyx2121122xydxdyx22221xydxdyx一般地，若先y后x积分，在变量x的变化范围,ab内，作与x轴垂直的任意直线，如果上方（或下方）与两条或两条以上的曲线相交，同，则须分割区域为若干个X–型区域之和。对另一种积分次序，有类似的解释。例7计算2ln(1)ddDxyyxy，其中D由24yx，3,1yxx所围成。解令2(,)ln(1)fxyxyy，12DDD(如图所示)24yx3yx1D2D1x显然，1D在上(,)(,)fxyfxy，1D关于y轴对称，2D在上(,)(,)fxyfxy，2D关于x轴对称，2ln(1)ddDxyyxy12ln(1)ddDxyyxy22ln(1)ddDxyyxy0注设函数(,)fxy在闭区域上连续172（1）如果区域D关于x轴对称，当(,)fxy关于y是奇函数时，则(,)d0Dfxyxdy，当(,)fxy关于y是偶函数时，则(,)dDfxyxdy12(,)dDfxyxdy，其中1D是D在x轴某一侧的部分。（2）如果区域D关于y轴对称，当(,)fxy关于x是奇函数时，则(,)d0Dfxyxdy，当(,)fxy关于x是偶函数时，则(,)dDfxyxdy12(,)dDfxyxdy，其中1D是D在y轴某一侧的部分。（区域对一个轴对称，函数关于另一变量有奇偶性）（3）如果积分区域D关于x轴和y轴都对称，则当(,)fxy关于x或y是奇函数，则(,)d0,Dfxyxdy则当(,)fxy关于x和y都是偶函数，则(,)dDfxyxdy14(,)dDfxyxdy，其中1D是D在第一象限中的部分。例8计算二重积分222()ddxyDIxxyexy，（1）D为圆域221xy；（2）D为由直线,1,1yxyx所围成的区域。解(1)利用对称性2ddDIxxy221()dd02Dxyxy213001dd2rr4。(2)积分域如图：添加辅助线yx，将D分为12,DD，利用对称性,得yyx2D1Dyxx1732ddDIxxy221ddxyDxyexy222ddxyDxyexy1211dd00xxxy23例9设区域D为222xyR，计算2222Dxydxdyab。解由于积分区域D关于x轴和y轴都对称，22xy关于x和y都是偶函数，故122224DDxydxdyxydxdy，其中1D是222xyR在第一象限的部分。而1112222DDDxydxdyxdxdyydxdy1232200cosRDxdxdydrdr342001cos2216RdrdrR,2Dxdxdy2Dydxdy44R，22222222DDDxyxydxdydxdydxdyabab222211DDxdxdyydxdyab422114Rab例10设()fx在[0,1]上连续，并设10()fxdxA，求110()()xdxfxfydy。解1()xfydy不能直接积出，需改变积分次序110()()xIdxfxfydy，则100()()yIdyfxfydx100()()yfydyfxdx100()()xfxdxfydy则2I111000()()()()xxfxdxfydyfxdxfydy11200()()fxdxfydyA，212IA例11交换下列积分顺序22222820020d(,)dd(,)dxxIxfxyyxfxyy174解积分域由两部分组成21210:02yxDx，2208:222yxDx，将12DDD视为Y–型区域,则228:02yxyDy(,)ddDIfxyxy20dy282(,)dyyfxyxO2x22x注将已知的二重积分交换积分次序，关键要根据已知的二重积分的积分限，正确画出积分区域的图形。现在以此例说明画图的思路和方法。根据22200d(,)dxxfxyy，在坐标系中，先根据后积分的积分变量x的上下限，画出直线0x和2x，再在两直线之间，根据后积分的积分变量y的上下限，画出0y和22xy的图形。再根据222820d(,)dxxfxyy，画出直线2x和22x，再在两直线之间，根据后积分的积分变量y的上下限，画出0y和28yx的图形。画出图形后，根据图形，写出另一种积分次序。例12设(),()yyxzzx是由方程()zxfxy和(,,)0Fxyz所确定的函数，其中f与F分别具有一阶导数或偏导数,求ddzx。【1999年考研数学1】解法1方程两边对x求导,得123dd(1)dddd0ddzyfxfxxyzFFFxx，231ddddddddyzxffxfxxyzFFFxx，175211223223d1dxffxfFFxFfxFffFzxfxxfFFFF32(0)xfFF注由三元两方程组成的方程组，确定出,yz均为x的函数。一般情况下，变量的个数减去方程的个数等于自变量的个数。解法2方程两边求微分,得123dd(dd)ddd0zfxxfxyFxFyFz，化简123ddd0ddd0fxfxxfyzFxFyFz，消去dy即可得12232ddxFfxFffFzxxfFF32(0)xfFF例13设函数(,)zfxy在点(1,1)处可微,且(1,1)1,f(1,1)2,fx(1,1)3,fy()(,(,)),xfxfxx求3d()1dxxx。【2001年数学1】解由题设(1)(1,(1,1))ff(1,1)1f，3d()1dxxx2d3()1dxxx31(,(,))fxfxx212(,(,))(,)(,)fxfxxfxxfxx1x323(23)51例14已知曲线22220:35xyzCxyz，求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点。【2008年考研数学1】解2222035xyzxyz，由第二个方程有53xyz代入第一个方程，2225203xyxy，则22745720500xxyyy为约束条件。设2222,,74572050Fxyxyxxyyy，214450Fxxyx，2414200Fyxyy，1762274572050