《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 正态分布

本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6【学习要求】1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题．【学法指导】正态分布在自然界中最常见，可以结合正态密度曲线理解正态分布的性质，利用3σ原则求一些事件的概率.本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6填一填·知识要点、记下疑难点1．正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝12πσe，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中μ是随机变量X的，σ2是随机变量X的，且σ0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象具有如下特征(1)当x＜μ时，曲线；当x＞μ时，曲线；当曲线向左右两边无限延伸时，以为渐近线；(2)正态曲线关于直线对称；均值方差上升下降x轴x＝μ－x－μ22σ2本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6填一填·知识要点、记下疑难点(3)σ越大，正态曲线越；σ越小，正态曲线越；(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为.3．若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a，b]上方所围成的图形的，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．4．正态分布称为标准正态分布．5．若X～N(μ，σ2)，则X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为,落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为.6．在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是.N(0,1)尖陡1面积68.3%95.4%99.7%中心极限定理扁平本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效[课堂引入]常言道“瘦死的骆驼比马大”，尽管骆驼本身有胖有瘦，有大有小，但总体上，一个成年骆驼的身高与体重是在某个范围内变化的，那么为什么骆驼一般不会比马更小呢？这就是一种随机变量的特殊分布问题，骆驼的大小是服从正态分布的．本节课我们就来研究该问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效探究点一正态密度曲线问题1在频率分布直方图中，纵坐标的含义是，用小矩形的表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条.频率组距面积光滑的曲线本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效问题2正态曲线的方程P(x)＝12πσe，x∈R中的参数μ，σ有何意义？答正态曲线方程中含有两个参数μ和σ，其中μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ0表示标准差，V(X)＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ惟一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.－x－μ22σ2本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效问题3正态曲线有何特点？答(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，图象关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值12πσ；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“尖陡”；σ越大，曲线越“扁平”．本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效问题4何为正态分布？标准正态分布？答若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．正态分布N(0,1)称为标准正态分布．本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效例1如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，且12π·σ＝12π，解得σ＝2.于是概率密度函数的解析式是P(x)＝12πe，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.－x－2024本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效小结利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象实质性的两点：一是对称轴x＝μ，另一个是最值12πσ.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入P(x)中便可求出相应的解析式．本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1下面给出了三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.(1)P(x)＝12πe，x∈(－∞，＋∞)；(2)P(x)＝122πe，x∈(－∞，＋∞)；(3)P(x)＝22πe，x∈(－∞，＋∞)．－x22－x－128－2(x＋1)2解(1)μ＝0，σ＝1；(2)μ＝1，σ＝2；(3)μ＝－1，σ＝12.本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效探究点二利用正态曲线的对称性求概率问题1在标准正态分布表中相应于x0(x0＞0)的值Φ(x0)有什么意义？答在标准正态分布表中相应于x0(x0＞0)的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率，即Φ(x0)＝P(ξ＜x0)．问题2若x～N(μ，σ2)，则P(x＞μ)＝________.12本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效例2(1)如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有________．①12－Φ(－a)；②Φ(－a)；③Φ(a)－12；④12[Φ(a)－Φ(－a)]，其中Φ(－a)＝P(x≤－a)．解析∵Φ(－a)＝P(x≤－a)表示x不大于－a的概率，∴①正确，②错误．∵Φ(a)＝1－Φ(－a)，∴③正确．∵12[Φ(a)－Φ(－a)]＝12[1－2Φ(－a)]＝12－Φ(－a)，与①相同．∴④正确．本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效(2)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X4)＝0.84，则P(X≤0)＝________.解析由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X4)＝1－0.84＝0.16.0.16本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效小结对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a，有P(Xμ－a)＝P(Xμ＋a)；(2)P(Xx0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(aXb)＝P(Xb)－P(X≤a)．本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝________.解析由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得P(ξ＜1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)．所以P(|ξ|＜1.96)＝P(－1.96＜ξ＜1.96)＝P(ξ＜1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ＜－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.0.950本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效探究点三正态分布的实际应用问题1实际生活中有哪些现象服从正态分布？答正态分布是自然界中最常见，应用最广泛的一种分布，如人的身高、体重，学生的学习成绩，产品的尺寸，长度测量的误差，都近似地服从正态分布．问题2正态分布在实际问题中有何应用？答利用正态分布的对称性，结合3σ原则，可以求相应的概率，帮助我们作出决策．本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效例3在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？解∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954.本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100，由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.683≈1366(人)．小结解此类问题一定要把握服从N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P(μ－σ＜xμ＋σ)，P(μ－2σxμ＋2σ)，P(μ－3σxμ＋3σ)转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知满分150分，这个班共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．解∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20.由于P(110－20X≤110＋20)＝0.683，∴X130的概率为12(1－0.683)＝0.1585.X≥90的概率为0.683＋0.1585＝0.8415，∴及格的人数为54×0.8415≈45，130分以上的人数为54×0.1585≈9.本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6练一练·当堂检测、目标达成落实处1.如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3、0、1的大小关系是__________________．0σ1σ2＝1σ3本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6练一练·当堂检测、目标达成落实处2．把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是________．(填序号)①曲线b仍然是正态曲线；②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；③以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2；④以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2.④本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6练一练·当堂检测、目标达成落实处3．设X～N(0,1)．①P(－εX0)＝P(0Xε)；②P(X0)＝0.5；③已知P(|X|1)＝0.683，则P(X－1)＝0.1585；④若P(|X|2)＝0.954，则P(X2)＝0.977；⑤若P(|X|3)＝0.997，则P(X3)＝0.9985；其中正确的有________个．5本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6练一练·当堂检测、目标达成落实处4．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10000，4002)，求这批灯泡中“使用时间不低于10800小时”的概率．解依题意μ＝104，σ＝400.∴P(104－800X104＋800)＝P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.954.由正态分布性质知P(X≤104－800)＝P(X≥104＋800)故2P(X≥10800)＋P(104－800X104＋800)＝1，∴P(X≥10800)＝1－0.9542＝0.023，故使用时间不低于10800小时的概率为0.023.本课时栏目开关填一填研一研练一练§2.6练一练·当堂检测、目标达成落实处1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(