《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 组合(一)

§1.3（一）本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）【学习要求】1．理解组合及组合数的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．【学法指导】组合研究的问题与排列是平行的，两者的区别是有无“顺序”．学习中可和排列相比较，领悟概念的本质，组合数公式推导中要研究组合与排列的关系.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）填一填·知识要点、记下疑难点1．组合：一般地，从n个不同元素中，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)．2．组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．3．组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝＝(n，m∈N*，m≤n)．规定：C0n＝.取出m(m≤n)个元素并成一组所有组合Cmnnn－1n－2…n－m＋1m！n！m！n－m！1本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点一组合的概念问题1从3名同学甲、乙、丙中选2名去参加一项活动，有多少种不同选法？答可能选法有三种，列举如下：甲、乙，甲、丙，乙、丙．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题2问题1和“从3名同学中选出2名去参加一项活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动”有何区别？答问题1只是从3名同学中选出2名去参加一项活动，而不需要排列他们的顺序．问题3排列与组合有什么联系和区别？答排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？解(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．小结判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正确区分事件有无顺序，区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动，有多少种不同的选法？(2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼，有多少种选法？(3)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？解(1)(2)都是选出3人，但参加同一劳动没有顺序，而到三个学校参加毕业典礼却有顺序，故(1)是组合问题，(2)是排列问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效(3)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(4)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点二组合的列举问题问题怎样写一个问题的所有组合？答和解排列问题类似，可以借助树形图来写一个问题的所有组合，组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序(如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b等)来考虑，否则就会出现重复或遗漏．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效例2从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素，写出所有的组合形式．解如图得出abc，abd.得acd.得bcd.故其组合为abc、abd、acd、bcd.小结用树形图来写所有组合时，当前面的元素写完后，后面再不能出现该元素，要避免重复和遗漏．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2写出从A，B，C，D，E5个元素，依次取3个元素的所有组合．解所有组合为ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点三组合数公式及应用问题1由例2看出组合数C34与排列数A34有什么关系？答由例2可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A33种方法．由分步计数原理得：A34＝C34·A33，所以，C34＝A34A33.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题2组合数公式的两种形式在应用中如何选择？答在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择．公式Cmn＝AmnAmm常用于n为具体自然数的题目．一般偏向于组合数的计算．公式Cmn＝n！m！n－m！常用于n为字母的题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效例3(1)求值：C5－nn＋C9－nn＋1；解由n≥5－n，n＋1≥9－n，9－n≥0，5－n≥0，得4≤n≤5，又n∈N*，∴n＝4或5，当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5；当n＝5时，原式＝C05＋C46＝1＋15＝16.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效(2)若C4nC6n，则n的取值集合为________．解析因为C4nC6n，所以C4nC6n，n≥6⇒n！4！n－4！n！6！n－6！，n≥6⇒n2－9n－100，n≥6⇒－1n10，n≥6.因为n∈N*，所以n＝6,7,8,9，{6,7,8,9}所以n的取值集合为{6,7,8,9}．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效小结处理组合数的计算问题，首先要注意组合数中的隐含条件，涉及具体数字的可以用展开式计算；涉及字母的可以用阶乘式计算．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3(1)计算：C38－n3n＋C3nn＋21的值．(2)求证：Cmn＝m＋1n－m·Cm＋1n.(1)解由3n≥38－n，3n≤n＋21，n∈N*，得192≤n≤212，n∈N*，∴n＝10，∴原式＝C2830＋C3031＝30！28！30－28！＋31！30！31－30！＝30×292＋31＝466.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效(2)证明∵Cmn＝n！m！n－m！，m＋1n－m·Cm＋1n＝m＋1n－m·n！m＋1！n－m－1！＝m＋1m＋1！·n！n－mn－m－1！＝n！m！n－m！，∴Cmn＝m＋1n－m·Cm＋1n.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效例4一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？解(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C1117＝12376.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C1117种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C111种选法．所以教练员做这件事情的方式种数为C1117×C111＝136136.小结组合数公式意义的理解是应用的前提；应用组合数公式求解应用问题要正确分类和分步．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练4现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步计数原理，因此共有不同的选法C26·C24＝6×52×1·4×32×1＝90(种).本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．已知C2n＝10，则n的值为________．52．如果A3m＝6C4m，则m＝________.7本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处3．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中是组合问题的个数是________．2本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处4．下列等式不正确的是________．(填序号)①Cmn＝n！m！n－m！②Cmn＝Cn－mn③Cmn＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1④Cmn＝Cm＋1n＋1④本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处5．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．解析设餐厅至少还需准备x种不同的素菜．由题意，得C25·C2x≥200，从而有C2x≥20，即x(x－1)≥40.又x≥2，所以x的最小值为7.7本课时栏目开关填一填研一研练一练§1.3（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．关于组合数的计算：(1)涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算.本课时栏目开关填一填研一研练一练