《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 微积分基本定理

1.5.3微积分基本定理【学习要求】1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分.【学法指导】通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义.微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.1.5.3本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么ʃbaf(x)dx＝，即ʃbaF′(x)dx＝1.5.3F(b)－F(a)F(b)－F(a).本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点一微积分基本定理[课堂导入]你能用定义计算ʃ211xdx吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？1.5.3本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t).设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？1.5.3本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效答案通过求定积分的过程和导数的几何意义，可得s＝ʃbav(t)dt＝ʃbay′(t)dt＝y(b)－y(a).1.5.3小结一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)?1.5.3答案不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效例1计算下列定积分：(1)ʃ211xdx；(2)ʃ31(2x－1x2)dx；(3)ʃ0－π(cosx－ex)dx.1.5.3解(1)因为(lnx)′＝1x，所以ʃ211xdx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2.(2)因为(x2)′＝2x，(1x)′＝－1x2，所以ʃ31(2x－1x2)dx＝ʃ312xdx－ʃ311x2dx＝x2|31＋1x|31＝(9－1)＋(13－1)＝223.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效(3)ʃ0－π(cosx－ex)dx＝ʃ0－πcosxdx－ʃ0－πexdx＝sinx|0－π－ex|0－π＝1eπ－1.1.5.3小结求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1计算下列定积分：(1)ʃ1025x4dx；(2)ʃ31(x＋1x)26xdx.1.5.3解(1)∵(x5)′＝5x4，∴ʃ1025x4dx＝x5|102＝105－25＝99968.(2)ʃ31(x＋1x)26xdx＝ʃ31(x＋1x＋2)6xdx＝ʃ31(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点二分段函数的定积分例2已知函数f(x)＝sinx，0≤x≤π2，1，π2≤x≤2，x－1，2≤x≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分.1.5.3解图象如图.ʃ40f(x)dx＝ʃsinxdx＋ʃdx＋ʃ42(x－1)dx＝(－cosx)|＋x|＋(12x2－x)|42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.π20202π2π2π2本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效小结求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数.1.5.3本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2设f(x)＝x2，x≤0，cosx－1，x0，求ʃ1－1f(x)dx；1.5.3解ʃ1－1f(x)dx＝ʃ0－1x2dx＋ʃ10(cosx－1)dx＝13x3|0－1＋(sinx－x)|10＝sin1－23.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点三定积分的简单应用例3已知ʃ1－1(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6，且f(t)＝ʃt0(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b.1.5.3解∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，∴ʃ1－1(x3＋ax)dx＝0，∴ʃ1－1(x3＋ax＋3a－b)dx＝ʃ1－1(x3＋ax)dx＋ʃ1－1(3a－b)dx＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3.①本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效又f(t)＝[x44＋a2x2＋(3a－b)x]|t0＝t44＋at22＋(3a－b)t为偶函数，1.5.3∴3a－b＝0.②由①②得a＝－3，b＝－9.小结在利用定积分解决其他问题的题目中，一般也要根据微积分基本定理求出定积分，体现了一种转化思想.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3f(x)是一次函数，且ʃ10f(x)dx＝5，ʃ10xf(x)dx＝176，求f(x)的解析式.1.5.3解设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则ʃ10(ax＋b)dx＝ʃ10axdx＋ʃ10bdx＝12ax2|10＋bx|10＝12a＋b，ʃ10x(ax＋b)dx＝ʃ10(ax2＋bx)dx＝13ax3|10＋12bx2|10＝13a＋12b，本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效由12a＋b＝513a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.1.5.3本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.ʃ(1＋cosx)dx＝________.1.5.3解析∵(x＋sinx)′＝1＋cosx，∴ʃ(1＋cosx)dx＝(x＋sinx)|＝π2＋sinπ2－－π2＋sin－π2＝π＋2.π＋2π2－π2π2－π2π2－π2本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.若ʃa1(2x＋1x)dx＝3＋ln2，则a的值是________.1.5.3解析ʃa1(2x＋1x)dx＝ʃa12xdx＋ʃa11xdx＝x2|a1＋lnx|a1＝a2－1＋lna＝3＋ln2，解得a＝2.23.ʃ20(x2－23x)dx＝________.解析ʃ20(x2－23x)dx＝ʃ20x2dx－ʃ2023xdx＝x33|20－x23|20＝83－43＝43.43本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处4.设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若ʃ10f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________.1.5.3解析ʃ10(ax2＋c)dx＝ax20＋c，∴a3＝ax20，∵a≠0，∴x20＝13，又0≤x0≤1，∴x0＝33.33本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.微积分基本定理揭示了导数和定积分的内在联系，为定积分计算提供了一种有效方法.2.求定积分时，只要求出一个F(x)，使F′(x)＝f(x)即可.有些定积分，可以结合定积分的几何意义和性质化简，然后再进行计算.1.5.3本课时栏目开关填一填研一研练一练