二维Fourier变换及其作用

二维Fourier变换及其作用论文题目：二维Fourier变换及其作用英文名：Thetwo-dimensionalFouriertransformanditseffect指导老师：熊向团姓名：骆盼学号：201172020223E–mail：[e-mail]2【内容提要】19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈交的关于热传导的著名论文中提出了傅里叶级数傅里叶分析方法已经广泛用于物理学及工程学科的各个领域。傅立叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。【关健词】傅里叶级数，二维离散傅立叶变换，快速傅立叶变换AbstractIntheearly19thcentury,Fourier,shallbesubmittedtotheParisacademyofsciencesofheatconductionofthethesisputforwardthefamousFourierseriesFourieranalysismethodhasbeenwidelyusedinvariousfieldsofphysicsandengineeringdisciplines.Fouriertransformcanmeetcertainconditionsisexpressedasafunctionoftrigonometricfunction(sineand/orcosinefunction)oralinearcombinationoftheintegral.Indifferentfieldsofstudy,avariationoftheFouriertransformhasmanydifferentforms,suchascontinuousFouriertransformanddiscreteFouriertransform.InitialFourieranalysisisatoolforasanalyticalanalysisofthermalprocesswasproposed.KeywordsFourierseries,thetwo-dimensionaldiscreteFouriertransform,fastFouriertransform3目录一.预备知识：1.三角函数系的正交性…………………………42.(函数展开成)傅里叶级数…………………………43.狭里克雷(Dirichlet)收敛定理………………………5二.引入傅里叶变换的定义………………………………7三.离散的傅立叶变换…………………………………71.一维离散变换………………………………………………72.二维离散变换………………………………………………83.二维离散傅立叶变换的性质……………………………8（一）平均值………………………………………………8（二）变换域的周期性……………………………………8（三）对称共轭性…………………………………………9（四）平移性………………………………………………9（五）分配性和比例性……………………………………9（六）可分离性……………………………………………9（七）旋转性质…………………………………………10（八）微分性质……………………………………………10四.快速傅立叶变换（FFT）…………………………11五.离散图像变换的一般表达…………………………141.离散图像变换的代数表达式……………………………142.离散图像变换的矩阵表达式……………………………15六.编程实验………………………………………………17参考文献……………………………………………………20致谢…………………………………………………………204傅里叶变换(Fouriertransform)傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。一.预备知识：1.三角函数系的正交性三角级数:)sincos(210nwxbnwxaannwT2三角函数系:,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1nwxnwxwxwxwxwx(线性组合)正交性:(1)220cosTTnwxdx(2)220sinTTnwxdx(3)220sincosTTmwxdxnwx(4)220coscosTTmwxdxnwxnm(5)220sinsinTTmwxdxnwxnm另易验证,三角函数亦中两相同函数的乘积在2,2TT上的积分不等于零.①TdxTT2221②2sin222TnwxdxTT③2222cosTTTnwxdx)2(wT2.(函数展开成)傅里叶级数条件:已知)(xf周期为T,在2,2TT上可积,且可展开成逐项可积的三角级数.即10)sincos(2)(nnnnwxbnwxaaxf结论22220cos)(22TTnTTnwxdxxfTafxdxTa),2,1(n22),1,0(cos)(2TTnnnwxdxxfTa5过程:①TanwxdxbnwxdxadxadxxfnTTTTnnTTTT2sincos2)(01222222022正交性②22cos)(TTnwxdxxf22122220sincoscoscoscos2TTKTTTTKKkwxdxnwxbkwxdxnwxfanwxdxa2cos222TanwxdxaTTnn正交性③同②傅里叶级数:)(xf～)sincos(210nwxbnwxaannn3.狭里克雷(Dirichlet)收敛定理设)(xf在2,2TT上满足(1)连续,或还多有有限个第一类间断点;(2)分段单调,且单调区间的个数还多只有有限个则)(xf的傅里叶级数10)sincos(2nnnnwxbnwxaa收敛,且其和函数)02()02(21)0()0(21)()(TfTfxfxfxfxS2,2)2,2()2,2(TTxTTxTTx)(第一类间断点连续点推论:1.,2T12Tw取,nxdxxfbnxdxxfannsin)(1cos)(1),2,1,0(),2,1,0(nn)(xf～10)sincos(2nnnnxbnxaa2.lT2)0(l,lTw2取ll,6llnllnxdxlnxflbxdxlnxflasin)(1cos)(1),2,1,0(),2,1,0(nn)(xf～10)sincos(2nnnxlnbxlnaa3.)(xf在2,2TT上是奇函数,即)()(xfxf2,2TTx0cos)(420nTnbnwxdxxfTa),2,1,0(),2,1,0(nn)(xf～10cos2nnnwxaa-----余弦(傅里叶)级数4.)(xf在2,2TT上是奇函数,即)()(xfxf2,2TTx20sin)(40TnnnwxdxxfTba),2,1,0(),2,1,0(nn)(xf～nwxbnnsin1-----正弦(傅里叶)级数例1:得xxf0)(xx00展开成傅里叶级数.解:2T12Tw)(xf在,上满中收敛定理的条件,在端点x处)(xf的傅里叶级数在端点x处收敛于2202)0()0(ff,而在连续点),(x处收敛于)(xf.(和函数的图形见上)(xS)计算傅里叶系数:0021)(1xdxdxxfa02)1(cos1cos1cos)(1220nnnnxdxxnxdxxfan分部偶奇nn7nnnnxdxxnxdxxfbn11cossin1sin)(10偶奇nn因此)(xf的傅里叶级数展开式为)sincos(2)(10nwxbnwxaaxfnnn)3sin313cos32(2sin21)sincos2(42xxxxxx4sin41),(x二.引入傅里叶变换的定义是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算的傅里叶变换，②式的积分运算叫做F的傅里叶逆变换。F叫做的像函数，叫做F的像原函数。F是的像。是F的原像。①傅里叶变换②傅里叶逆变换中文译名:Fouriertransform或TransforméedeFourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。三.离散的傅立叶变换1.一维离散变换为：8式中，。2.二维离散变换为：因为在离散的情况下，和两者总是存在的，所以和连续的情况不同，我们不必考虑关系离散傅立叶变换的存在性。3.二维离散傅立叶变换的性质此处约定离散函数的大小为N×N.（一）平均值傅开变换域原点的频谱分量是空间域的平均值的N倍，即由右边（1）式：（二）变换域的周期性设m，n为整数，m，n=0，±1，±2，…，将u+mN和v+nN代入右（1）式中，有：9上式中，右边第二个指数项为单位值，因此傅立叶变换是周期性的，即：（三）对称共轭性由离散傅立叶变换定义可方便地证明，傅立叶变换满足：（四）平移性如用表示傅立叶变换对，则平移性是指：由于，因而说明f(x,y)的移动并不影响它的傅立叶变换的幅度。（五）分配性和比例性设，若和分别是的傅氏变换，则根据定义可知其分配性，即（线性特性）：同时，也容易证明其比例性，即：（六）可分离性可分离性的主要优点是可以通过两次一维变换来实现一个二维变换（或反变换）。可分为两步。第一步，先沿y轴对f(x,y)求一维离散傅立叶变换，得中间结果，即：第二步，再沿x轴对F1(x,v)求一维离散傅氏变换，得最后结果F(u,v)，即：10（七）旋转性质由于在极坐标下表示二维函数图形的旋转特性非常方便，所以将坐标进行转换。空间域坐标变换为：，频率域坐标变换为：，便是极坐标中的傅氏变换对。可以证明二维离散傅氏变换具有如下旋转性质：（八）微分性质傅立叶变换的微分性质可表示为：作为特例，定义拉普拉斯（Laplace）算式为：（在图像增强中会用到）则由微分性质可知laplace算子的傅氏变换为，即：便是在模式识别技术中经常用到的laplace算子。四.快速傅立叶变换（FFT）傅立叶变换除了具有前面介绍过的许多独特性质之外，还有一个突出的优点，即它的快速算法（FFT）。FFT的存在使计算机节省了大量的计算时间。目前，快速傅立叶变换有好11几种，最常用的是由Cooley和Tukey于1965年首先提出来的一种FFT快速算法。利用这种算法在实现f(x)(x=0,1,…,N－1)的离散傅立叶变换时，需要完成的复数乘法和加法的次灵敏分别为1/2Nlog2N和Nlog2N。而直接用离散傅立叶变换的原始式（3-25）式计算f(x)的傅立叶变换时，需要进行的复数乘法和加法次数分别为N2和N（N－1）≈N2（后者称为直接傅立叶变换（DFT））。通过表3-1比较N取不同的值时N2与Nlog2N的差异，可明显看出FFT在计算速度上的巨大优势。对于一幅M×N的数字图像，如果用DFT法计算其傅立叶变