二维傅里叶变换推倒及理解

2D傅里叶变换理解心得一、目的完整推倒2D傅里叶变换公式，加深对2D傅里叶变换公式的理解。二、内容2维傅里叶变换，针对的信号函数是2维空间平面内的函数，2维傅里叶变换也有四种不同的形式。1、连续周期时域信号----非周期离散频谱。2D_CFS(,)XYfxy表示2维周期连续信号，可以理解为一幅连续的图像信号（这里(,)XYfxy可以为复数信号，但工程实践中常为实信号），(,)Fkl表示2维频谱信号，其中,kl取上的整数。00000000002()2()00002()2()00002()00(,).(,).(,).1(,).,,-+XYXYjkuxlvyjkuxlvyXYXYXYXYjkuxlvyjkuxlvyXYjkuxlvyXYfxyedxdyfxyedxdyFkleedxdydxdyfxyedxdyklXY取上的实整数其中X,Y为(,)XYfxy在x坐标和y坐标上各自的最小正周期。00,uv表示在x坐标和y坐标上各自的基频率，这里有0011,uvXY，,kl取上的整数，对应不同的频率成分，(,)Fkl的图像为离散的，且在x坐标和y坐标上的频率间隔分别为0011,uvXY。002()(,)(,).,,-+jkuxlvyXYklfxyFklexy取上的实数这里，(,)Fkl为复数。所以得到2D_CFS（2维连续傅里叶级数）00002()002()(,).(,),,-+(,)(,).,,-+XYjkuxlvyXYjkuxlvyXYklfxyedxdyFklklXYfxyFklexy取上的实整数取上的实数2、连续非周期信号-----连续非周期频谱2D_CTFT(,)fxy表示非周期的连续2维信号，(,)Fuv表示其频谱，这里(,)Fuv是连续非周期的2维信号0000000000002()2()00,2()2(),0,,000*,,0*(,).(,).(,)limlim.(,)=(,).lim,(,)=(,)XYjkuxlvyjuxvyXYXYjkuxlvyjkuxlvyuvXYuvXYuvfxyedxdyfxyedxdyFuvXYeedxdyFuvFuvXYFuvfxy令则2().,-+juxvyedxdyuv取上的实整数这里，00,,01/limXYuvXY为无穷小量，为了使频谱的取值能够便于研究，这里进行了放大，得到*(,)Fuv，所以这里就不是2D_CFS，而是2D_CTFT(2维连续时间傅里叶变换)，这里仍然有0011,uvXY。0000002()002()*,,0*,,0(,)(,).,0,(,)(,).(,)=lim.(,)(,)=(,)/limjkuxlvykljuxvyuvXYuvXYuvfxyFkleuvfxyFuveFuvXYFuvFuvFuvXY00002()*2(),,000,,0*2()*2()(,)(,).(,).lim11,,1lim(,)(,).(,).juxvyuvjuxvyuvXYuvXYuvjuxvyjuxvyuvvfxyFuveFuveXYuvXYdudvXYfxyFuvedudvFuveududv所以2D_CTFT为*2()*2()(,)=(,).,-+(,)(,).-+juxvyjuxvyFuvfxyedxdyuvfxyFuvedudv取上的实数x,y取上的实数这里，u,v为x,y方向上的空间频率变量。3、离散周期信号-----离散周期频谱2D_DFS对连续信号(,)XYfxy按照x方向xT的采样周期（单位不一定为时间），y方向（单位不一定为时间）yT的采样周期进行采样，得到(,)MNfmn。这里，xyXMTYNT，xyxmTynT，所以(,)(,)XYXYxyfxyfmTnT。通常，我们会去掉离散信号的周期单位（时间或者距离），只取出点列，不要物理意义。所以我们会得到离散周期信号[,](,)MNXYxyfmnfmTnT，这就是一个单纯的2维点阵，没有物理意义，是数学抽象出来的点阵。00002()002()(,).(,),,-+(,)(,).,,-+XYjkuxlvyXYjkuxlvyXYklfxyedxdyFklklXYfxyFklexy取上的实整数取上的实数2D_CFS利用2D_CFS推倒2D_DFS00000000y2()2()00002()2()00112()yy002(,).(,).(,),,,.(,).[,]yxxxyXYXYjkuxlvyjkuxlvyXYXYXYjkuxlvyjkuxlvyNTMTjkmTlnTMTNTXYxxfxyedxdyfxyedxdyFklklxyXYeedxdyfmTnTedmTdnTFkle为整数为实数yy1111()2()y00112()yy0011112()2()y00112()y.(,)..(,).=yxxxxyxyyxyxNTMTjkmTlnTjkmTlnTMTNTMTNTxNTMTjkmlnMNXYxxNTMTjkmlnjkmlnMNMNxjkmlnMNXYxxedmTdnTfmTnTedmTdnTeedmTdnTfmTnTemTnTyyyyyyy=0=011112()2()y=0=0y112()y=0=0,.11[,](,)[,].=1yxxxyxxxyxxxNTnTMTmTmTnTNTnTMTmTjkmlnjkmlnMNMNxmTnTMNXYxNTTMTTjkmlnMNMNxmTnTmneemTnTmnfmnfmTnTfmneTTT这里为非负整数，。令上式yyyyyyyyyyy=0=0112()y=0=0y=0=0y=0=011=0=0=0=0[,].=1[,].=yxxxyxxxyxxxyxxxyxxxNTTMTTxmTnTNTTMTTjkmlnMNMNxmTnTNTTMTTxmTnTNTTMTTxmTnTNTTMTTMNmTnTmnMNTfmneTTTTTTfmn中，为常数，等价于上式1111112()2()y=0=0=0=011y=0=0[,].=1kmlnMNMNjkmlnjMNMNxMNmnmnMNxmneTTfmneMNTT所以通过上面的推倒，我们可以看出2D_CFS推出了2D_DFS，说明其本质是一致的。图中，蓝色连续曲线采样后的图形，既可以理解为只在采样点处有定义，其他点没有定义的点列，也可以理解为有着周期性质的矩形红色图像（这里仅是示意图，红色图形骤变点函数值应该和蓝色图形该店函数值严格相等。）。而矩形红色图像是2D_CFS和2D_DFS的桥梁，它的频率成分既可以当做点列用2D_DFS计算，又可以当做连续函数用2D_CFS计算，结果是一致的。在推倒过程中，我们发现，积分和逐项求和本质上是一致的，都是以一定的步长在求曲线和横坐标所夹图像的面积，只是因步长的不同而导致精度不同而已，而2D_DFS中的公式分子11112()y=0=0[,].MNjkmlnMNMNxmnfmneTT，112()=0=0[,].kmlnMNjMNMNmnfmne就是在求红色矩形图像在一个周期中的面积，只不过横坐标选取不同，但最后分子分母一相消，就导致结果一致。所以有时候通过红色矩形图像来理解采样，和傅里叶变换公式，有着事半功倍的效果。很自然，反变换就是把个频率成分加起来就行了：ln112()00[,][,].,,kmMNjMNMNklfmnFklemn取整数但这里为了对称令正反变换形式一致，添加了系数，这里不再赘述。所以得到2D_DFS公式如下：112()=0=0ln112()001[,][,].,1[,][,].,kmlnMNjMNMNmnkmMNjMNMNklFklfmneklMNfmnFklemnMN取整数,具有周期性取整数4、离散非周期信号-----连续周期频谱2D_DTFT*2()*2()(,)=(,).,-+(,)(,).-+juxvyjuxvyFuvfxyedxdyuvfxyFuvedudv取上的实数x,y取上的实数对(,)fxy进行按照x方向xT的采样周期（单位不一定为时间），y方向（单位不一定为时间）yT的采样周期进行采样，得到[,]fmn。这里，limlimlimlimxXMyYNXMTYNT，xyxmTynT*2()112()*112()2(,)=(,).(,)lim(,).lim[,].lim[,].xyxxjuxvyjkmTlnTMTMTxyxyxyMNjkmlnMMxyMNxyMNFuvfxyedxdyFfmTnTedmTdnTfmnedmTdnTTTfmne11()2()2()*[,].[,].1(,)=(,)xyxyjkmlnMMjmnxyjmnxymnxyxyxymnTTfmnemnTTfmneFFTT令(,)xyF也具有周期性，所以反变换时只需取一个主周期进行计算就可以了。*2()112()*00112()**00112()00(,)(,).1111[,]lim(,).1(,).(,).(xyxyxyjuxvyjmnMxyxyNjmnxyxyxyjmnxyxyxxyxfxyFuvedudvfmnFkedkdlMTNTMTNTFeddTTTTFeddTTF具有周期性112()00,).xyjmnyxedd所以2D_DTFT2()112()00(,)[,].[,](,).xyxyjmnxymnjmnxyxFfmnefmnFedd