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第14讲┃二次函数的图象与性质(一)第14讲┃考点聚焦考点聚焦考点1二次函数的概念定义一般地，如果______________(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数二次函数y＝ax2＋bx＋c的结构特征①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2;②二次项系数a≠0y＝ax2＋bx＋c第14讲┃考点聚焦考点2二次函数的图象及画法图象二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以______________为顶点，以直线________为对称轴的抛物线用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的步骤(1)用配方法化成________________的形式；(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图－b2a，4ac－b24ax＝－b2ay＝a(x－h)2＋k第14讲┃考点聚焦考点3二次函数的性质二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)函数a0a0图象开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴直线x＝－b2a直线x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a－b2a，4ac－b24a第14讲┃考点聚焦增减性在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减第14讲┃考点聚焦二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)函数a0a0最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a二次项系数a的特性a的大小决定抛物线的开口大小；a越大，抛物线的开口越小，a越小，抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即x＝0时，y＝c第14讲┃考点聚焦考点4用待定系数法求二次函数的表达式方法适用条件及求法1.一般式若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a、b、c的值2.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将关系式化为一般形式3.交点式若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般形式第14讲┃归类示例归类示例►类型之一二次函数的定义命题角度：二次函数的概念．若y＝(m＋1)xm2－6m－5是二次函数，则m＝()A．7B．－1C．－1或7D．以上都不对A[解析]让x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．由题意得：m2－6m－5＝2，且m＋1≠0.解得m＝7或－1，且m≠－1，∴m＝7，故选A.第14讲┃归类示例利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.►类型之二二次函数的图象与性质第14讲┃归类示例命题角度：1.二次函数的图象及画法；2.二次函数的性质．第14讲┃归类示例(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式；(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；(3)若A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1x21，请比较y1、y2的大小关系(直接写结果)；(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．第14讲┃归类示例[解析](1)根据配方法的步骤进行计算．(2)由(1)得出抛物线的对称轴，顶点坐标列表，注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标，不要弄错．(3)开口向上，在抛物线的左边，y随x的增大而减小．(4)抛物线y＝x2－4x＋3与直线y＝2的交点的横坐标即为方程x2－4x＋3＝2的两根．第14讲┃归类示例解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.(2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：x…01234…y…30－103…描点作图如下图．(3)y1y2，(4)如图，点C、D的横坐标x3、x4即为方程x2－4x＋3＝2的根．第14讲┃归类示例(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法，②顶点公式法，顶点坐标为－b2a，4ac－b24a.(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．►类型之三二次函数的表达式的求法第14讲┃归类示例命题角度：1.一般式，顶点式，交点式；2.用待定系数法求二次函数的关系式．已知抛物线经过点A(－5，0)、B(1，0)，且顶点的纵坐标为92，求二次函数的关系式．[解析]根据题目要求，本题可选用多种方法求解析式．第14讲┃归类示例解：解法一：抛物线与x轴的两个交点为A(－5，0)、B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴为直线x＝－5＋12＝－2，∴抛物线的顶点为P－2，92，已知抛物线上的三点A(－5，0)、B(1，0)，P－2，92，设一般式y＝ax2＋bx＋c，把A(－5，0)、B(1，0)、P－2，92代入，得a＋b＋c＝0，25a－5b＋c＝0，4a－2b＋c＝92，解得a＝－12，b＝－2，c＝52，∴所求抛物线的解析式为y＝－12x2－2x＋52.第14讲┃归类示例解法二：由解法一知抛物线的顶点为P－2，92，可设顶点式y＝a(x＋2)2＋92，把x＝1，y＝0代入得0＝a(1＋2)2＋92，∴a＝－12.∴y＝－12(x＋2)2＋92，即y＝－12x2－2x＋52.第14讲┃归类示例解法三：由解法一知抛物线过点P－2，92，∵A(－5，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的交点，设交点式y＝a(x＋5)(x－1)，把x＝－2，y＝92代入得a(－2＋5)(－2－1)＝92，∴a＝－12.∴y＝－12(x＋5)(x－1)，即y＝－12x2－2x＋52.第14讲┃归类示例(1)当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．