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1浅谈建模思想在三角函数中的应用摘要：随着新课程改革的不断深入，新型的教育模式要求重点培养学生的自主学习习惯，三角函数的学习中渗透建模思想十分必要。关键词：数学建模思想三角函数的对称三角函数的最值引言《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、回忆、模仿和练习，高中数学课程适应倡导自主探索、动手实验、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。”这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，要使这个课程基本观念真正落实到数学教学中，教师还应根据学生的认知水平和已有的知识能力创设体现数学某些重要应用的课程，积极开展“数学探究”和“数学建模”的学习活动。在三角函数一章的教学中，教师应注重数学建模思想的应用，积极采用探究教学方式，鼓励学生大胆的自主探究学习。现对于三角函数中所含有的建模思想做一下简单的总结：一、对称问题正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx及y＝Asin（ωx＋）的对称轴方程及对称中心，由图象可知y＝sinx的对称轴方程为x=π/2±kπ（k为整数)，对称中心为（kπ，0）(k为整数)（1）。y＝cosx对称轴方程为x=kπ(k为整数),对称中心为（π/2±kπ，0）(k为整数)（2）。在y＝Asin（ωx＋）中，令X=ωx＋。则有y＝AsinX即利用整体思想，分别令自变量落在X轴和Y轴上即可求出其对称轴2x=(-+kπ+π/2)/ω，对称中心是（-+kπ)/ω，0）（其中k为整数）（3）。我们把这三个结论作为基本模型，可以顺利解决三角函数中的许多对称问题。例如下面的例子：例1.函数y＝cos（2x+π/2）图象的一条对称轴方程是（）A.x=π/2B.x=π/4C.x=π/8D.x=π/6解法一：由（2）知y＝cosx的对称轴方程为x=kπ令X=2x+π/22x+π/2=kπ解得:x=kπ/2-π/4（k为整数）所以函数y＝cos（2x+π/2）的对称轴方程为：x=kπ/2-π/4（k为整数）。①取k=1时，有x=π/4，对于A、C、D中的x值代入①后，没有整数k与之相对应综上应选B解法二：由（3）知y＝Asin（ωx＋）的对称轴方程为：x=(-+kπ+π/2)/ω②，将ω=2，,k=1，=π/2代入②式可解得：x=π/4即：x=π/4为对称轴3对于A、C、D中的x值代入②后，没有整数k与之相对应。综上应选B解法三:因为：y＝cos（2x+π/2）=-sin2x③2x=π/2±kπ解得：x=π/4±kπ/2取k=0时，有x=π/4对于A、C、D中的x值代入③后，没有整数k与之相对应。综上应选B。例2.函数y＝cos2x+asin2x的图象关于直线x=π/8对称,那么a=()A.1B.2C.2/2D.－1解：y＝cos2x+asin2x=√(a²+1)sin(2x+α)(其中tanα=1/a)由题意，x=π/8时，y应取得最大值或最小值，故：2x+α=π/2±kπ，把x=π/8带入上式可得：α=π/4±kπ此时tanα=1/a.所以1/a=tan(kπ+π/4),a=1应选A.二、最值问题:三角函数的最值问题在历年高考中占有重要地位，它是三角函数基础知识的综合应用，往往与二次函数，三角函数的图象，函数的单调性等知识联系在一起。在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；二要注意正、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活选用方法。在教学中应借助函数模型进行归纳与总结，以专题的形式进行教学。现对几种常见4的模型总结如下：（一）形如y＝asinx+bcosx型的函数特点是:含有正余弦，并且是一次式。方法是把正余弦转化为只有一种三角函数，此类函数可化为，y＝√(a²+b²)sin(x+)其中（tan=b/a）.例1.当0xπ/2时，函数y＝sinx+cosx的（）A.最大值是2，周期是2πB.最大值是1，周期是πC.最大值是2，周期是2πD.最大值是1，周期是π解：y＝sinx+cosx=2sin(x+π/4)因为0xπ/2所以π/4x+π/43π/4所以当sin(x+π/4)=1时即x+π/4=π/2，x=π/4时函数取得最大值2，周期等于2π/1=2π应选A.（二）形如y＝asin²x+bsinxcosx+ccos²x型的函数.特点是：含有sinx和cosx的二次式，方法是先降次、整理，再化为形式（一）求解。例2.求y＝sin²x+2sinxcosx+3cos²x的最大值，并求出函数y取最大值时x的集合解：y=2sin²x+2sinxcosx+3cos²x=sin²x+sin2x+cos²x+cos2x+1=2sin(2x+π/4)+25当sin(2x+π/4)=1时即2x+π/4=π/2+2kπ时x=π/8+kπ时所以函数最大值为2+2，此时x的集合为{x│x=π/8+kπ}(k为整数)。（三）、形如y=(asinx+c)/(bcosx+d)的函数特点是：分式并且分子分母都是正余弦一次式。方法是去分母或者看成两点斜率来解决。例3、求函数y=(2-sinx)/(2-cosx)的最大值和最小值解法一：去分母得sinx-ycosx=2-2y即sin(x+)=(2-2y)/√(1+y²)因为:│sin(x+)│≤1所以：│(2-2y)/√(1+y²)│≤1即3y²-8y+3≤0,-1/3≤y≤3故，函数最小值为-1/3，最大值为3.解法二：表示是过（2,2）与（cosx,sinx）两点直线的斜率，（2,2）是定点，而（cosx,sinx）是单位圆上的点，数形结合，观察图像可以得出直线与圆相切时取得最值。（四）、含有xxcos,sin和与积的函数式：可用和差换元（对偶式）求解。特点是：含有或经过化简整理后出现sinxcosx和sinx+cosx的式子。方法是利用（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx进行转化，化成二次函数问题。例4.求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的最大值解：令sinx+cosx=m(-2≤m≤2)(1)6由sinx²+cosx²=1把(1)式平法得：m²=1+2sinxcosx所以2sinxcosx=m²-1于是有y=m²+m-1=(m+1/2)²-5/4易知当m=2时，函数取得最大值为2+1以上两块内容是对三角函数的对称性及最值问题的归纳总结。在三角函数的教学中，教师应积极应用函数模型思想，引导学生积极主动参与探究，从实际问题情境中发现问题，并归结为相应的数学模型，形成数学问题，这将会大大地提高学生学习数学的积极性，开阔学生的知识视野，提高他们的探究能力和创新能力，从而提高教学的有效性。马强