搜索
第2课时两个计数原理及其综合应用【课标要求】1．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决实际问题．2．会根据实际问题合理分类或分步．【核心扫描】1．应用两个计数原理解决实际问题．(重点)2．合理的分类，分步解决问题．(难点)自学导引1．分类计数原理计算公式：N＝m1＋m2＋…＋mn.分步计数原理计算公式：N＝m1×m2×…×mn.2．分类计数原理针对的是分类问题，每一种方法都能达到；分步计数原理针对的是问题，各个步骤才算完成这件事．完成这件事的目的分步依次完成试一试用计数原理求72的正约数(包括1和72)共有多少个？提示72＝23×32，∴2m·3n(0≤m≤3,0≤n≤2，m，n∈N)都是72的正约数，m的取法有4种，n的取法有3种，共有4×3＝12(种)．想一想用分步计数原理解题，如何正确设计分步？提示首先要根据题意考虑分几步可完成该件事；其次确定每一步具体的内容是什么，各步的方法又是多少；最后用分步计数原理求解．名师点睛应用两个计数原理时的注意事项(1)要弄清问题中的“一件事”的含义，即知道做“一件事”，或完成一个“事件”在每个题中的具体所指．(2)必须明确完成题中所指“事件”是“分类”完成还是“分步”完成．分类用加法，分步用乘法．(3)对于较为复杂的既需分步又需分类的问题，应该先弄清分类与分步的先后顺序，如果先分类再分步，则整体用分类加法计数原理，每一类中再用分步乘法计数原理；如果先分步再分类，则整体用分步乘法计数原理，每一步中再用分类加法计数原理．(4)对题目中的特殊元素(位置)可优先考虑，即优先考虑有限制条件的元素(位置)，然后再考虑其他元素(位置)．题型一分类计数原理的综合应用【例1】由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?[思路探索]按自然数的位数进行分类计数．解组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．规律方法分类时，“类”与“类”之间具有独立性和并列性，但用第一类之外的每一种方法完成这件事有时并不都是一步就能完成．此时，对不能一步完成的方法需要再分步．【变式1】从1～20共20个整数中任取两个相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？解第一类：两个偶数相加，由分步乘法计数原理，共有10×92＝45(种)不同的取法；第二类：两个奇数相加，由分步乘法计数原理，共有10×92＝45(种)不同的取法．由分类加法计数原理得，共有45＋45＝90(种)不同取法．题型二分步计数原理的综合应用【例2】(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，有多少种不同的分配方案？[思路探索]明确“完成一件事”的步骤及计数原理．解(1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成．每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3个学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案．规律方法解决这类问题，切忌死记公式“mn”或“nm”，而应弄清楚哪类元素必须用完，就以它为主进行分析，并以该元素为分步的依据进行分步，再用分步乘法计数原理来求解．【变式2】(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解(1)该问题中要完成的事是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法．(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．题型三分类计数与分步计数的综合应用【例3】(14分)用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？本题综合考查了分类计数与分步计数两个计数原理，考查了合理分类与准确分步的做法．解题流程[规范解答]先分两类：第一类：D与A不同色，分四步完成．第一步涂A有5种方法；第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2种方法，则共有5×4×3×2＝120(种)方法．(6分)第二类：D与A同色，分三步完成．第一步涂A和D有5种方法；第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法，则共有5×4×3＝60(种)方法．(14分)所以共有120＋60＝180(种)不同的涂色方案．【题后反思】在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准备分步．【变式3】将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，则不同的种植方法共有多少种(以数字作答)?解分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块试验田，有3种方法，不妨设种a，再安排第二块试验田种b或c，有2种方法，不妨设种b，安排第三块试验田也有2种方法，种c或a.(1)若第三块试验田种c：则第四、五块田分别有2种种法，共有2×2种种法．abcabaabacabab(2)若第三块试验田种a：第四块田仍有2种种法．①若第四块田种c：则第五块田仍有2种种法．②若第四块田种b：则第五块田只能种c，只有1种种法．综上，共有3×2×[2×2＋(2＋1)]＝42(种)种法．误区警示分类标准不恰当致误【示例】有一个圆形区域被3条直径分成6块(如图所示)，在每一块区域内种植植物，相邻的两块区域种植不同的植物，现有4种不同的植物选择，一共有________种不同的种植方法．[错解]A块地有4种种法，B，C，D，E都有3种种法，F有2种种法，由分步乘法计数原理可知，一共有4×34×2＝648(种)不同的种法．当A与E种植相同植物或不同植物时F的种法有区别，不全是2种．[正解]分3类考虑，第一类：A，C，E种同一种植物，有4种种法，当A，C，E种好后，B，D，F从余下3种植物中选1种，各有3种种法，一共有4×3×3×3＝108(种)种法；第二类：A，C，E种两种植物，有12种种法，当A，C种同一种植物时，B有3种种法，D，F有2种种法，若C，E和E，A种同一种植物，种法相同，因此，共有12×3×(3×2×2)＝432(种)种法；第三类：A，C，E种3种植物，有4×3×2＝24(种)种法，这时B，D，F各有2种种法，一共有24×23＝192(种)种法．由分类加法计数原理知，共有108＋432＋192＝732(种)种法．答案732在用分步乘法计数原理时，如果某个元素在某步中的选取与否影响到在另一步中的方法种数，这时应分类求解．