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1．1正弦定理和余弦定理1．1.1正弦定理学习目标1.了解正弦定理的推导过程．2．掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．课堂互动讲练知能优化训练1.1.1正弦定理课前自主学案课前自主学案温故夯基1．任意三角形三边满足：两边之和____第三边，三个角满足：内角和为_____2．在Rt△ABC中，a、b分别为A与B所对的直角边的长，c为斜边的长，则sinA＝___，cosA＝___.3．对于两个向量a和b，有a·b＝|a|·|b|cosθ(其中θ为a与b的夹角)．大于180°.acbc知新益能1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比值相等，即______＝______＝_______2．解三角形(1)把三角形的_____和它们的____叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求_________的过程叫做解三角形．正弦三边对角其他元素正弦定理对任意三角形都适用吗？提示：正弦定理对任意的三角形都适用．思考感悟课堂互动讲练考点突破已知两角及一边解三角形已知三角形的两角和任一边解三角形的基本解法是：若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的对边时，可先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A、b、c.【思路点拨】已知两角和一边，可由内角和求第三个角A，再由正弦定理求b、c.例1【解】A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由正弦定理bsinB＝asinA，得b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，由asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．【名师点评】已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用，求边时可用正弦定理的变式，把要求的边用已知条件表示出来再代入计算．互动探究1若本题条件变为：c＝10，A＝105°，C＝30°，试求b.解：由三角形内角和定理得B＝180°－A－C＝45°，由csinC＝bsinB得b＝csinBsinC＝10sin45°sin30°＝102.已知两边及一边的对角解三角形已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角．当已知的角为大边对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知小边对的角时，则不能判断．在△ABC中，c＝6，C＝π3，a＝2，求A、B、b.例2【思路点拨】由c＞a可得A为锐角，由正弦定理求出sinA，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，最后由正弦定理求得b.【解】∵asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝22.∵c＞a，∴C＞A，∴A＝π4，∴B＝5π12，b＝csinBsinC＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.互动探究2把本例中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C、B、b.解：∵6sinπ4＜2＜6，∴本题有两解．∵asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝32.∴C＝π3或2π3.当C＝π3时，B＝5π12，b＝asinBsinA＝3＋1.当C＝2π3时，B＝π12，b＝asinBsinA＝3－1.判断三角形的形状判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手．从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，求出边与边的关系或求出角与角的关系，从而作出准确判断．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．【思路点拨】利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断△ABC的形状．例3【解】在△ABC中，根据正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(a2R)2＝(b2R)2＋(c2R)2，即a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°.由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝12.∵B是锐角，∴sinB＝22，∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．【名师点评】判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．互动探究3若本例中的条件“sinA＝2sinBcosC”改为“sin2A＝2sinBsinC”，试判断△ABC的形状．解：由sin2A＝sin2B＋sin2C，得a2＝b2＋c2.∴A＝90°.∵sin2A＝2sinBsinC，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc.∴b＝c，∴△ABC为等腰直角三角形．1．在△ABC中，a、b分别为A、B的对边．由正弦定理：asinA＝bsinB，再由大角对大边知A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，即三角形中大角的正弦值大．方法感悟2．判断三角形的形状，实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状，常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公式)，得出角的大小或等量关系．3．由于正弦定理及其变形形式都是等式，在求解三角形中的某个元素时，可运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形．只要涉及三角形的两角及对边的4个元素知3即可解三角形，即求出另3个元素．正弦定理的运用非常广泛，包括一些抽象性很强的平面几何结论，都可用正弦定理进行分析与证明．