预期估价方法及其投资决策

欧式期权的主观预期估价方法及投资决策*摘要考虑投资者对股票价格的推断或权衡等主观因素，给出欧式期权的主观预期估价及投资决策方法。方法的建立无需特别设定假设条件，且计算公式十分简单。关键词期权定价投资决策1引言标准的Black-Scholes欧式期权定价模型是建立在一系列的假设条件基础上的，如，市场无摩擦性假设，标的股票价格变化服从对数正态分布等。假设在t时刻股票价格为ts，],0[Tt，T为期权执行日，t时指定的期权执行价格为X，则Black-Scholes欧式看涨期权定价公式为[1])()()]0,[max(2)(1)(dNXedNsXsEectTrtTtTrt（1）其中tTtTrXsdt))(2/()/ln(21，tTdd12，2为股票预期收益的方差，r为利率，)(N为标准正态分布的概率分布函数，)(E为期望值算子。为克服标准Black-Scholes模型的不足，相继出现了一些修正的模型和方法，如，Merton的随机利率模型[2]，Cox-Ross-Rubinstein的二叉树方法及其扩展[3]，有限差分方法，Monte-Carlo模拟方法等。上述方法中没有直接反映投资者对股票价格的推断与权衡等主观因素。为此，本文尝试建立反映投资者对股票价格推断与权衡等主观因素的欧式期权估价方法，该方法建立在较少的假设之上，且易于计算。2方法的建立2．1基本假设（1）无税收、无交易成本；（2）无风险利率为r；（3）在],0[T期间内股票不分红。在第3节指出，条件（1）、（3）可以经适当处理后去掉。条件（2）可以采用Ｍerton的随机利率模型方法加以改进。2．2方法的建立在0t时，投资者根据股票价格的历史情况及经过对影响股票价格的未来因素分析后，对Tt时股票价格进行主观估计和预期。估价方法为：投资者认为在Tt时股票价格Ts在区间[),)1()(iTiTss内的可信度为0i，ni,...,1；n为投资者给定的值。因此，),[)1()(XsXsXsiTiTT的可信度也为i，ni,...,1。记njniijj,...,1,1，则0j，njj11。由于在T时，只有XsT时，投资者才会执行看涨期权；为此，令0,1)(XsiTi，1,...,1ni（2）所以，对}0,max{XsT的预期估计为))(),([}]0,[max{1)1(1)(XsXsXsEniiTiiTiiT（3）其它,0)),(),([)),(),([1)1()()1()(11)1()1()(niknikiTiTkTkkTkniniTiTiiTisXsXsXsXsXsXs（4）因此，由（1）知，投资者对该期权价值的估计为))(),([}]0,[max{1)1(1)()()(XsXseXsEecniiTiiTiitTrTtTrg（5）显然，gc是一个区间数，且其计算只涉及简单的加法和乘法，是相当容易的。3进一步分析3．1考察税收、交易成本和股票红利的情况只需将税收、交易成本和股票红利的相应值折算至T时刻，设其和值为Th，令1,...,1,)()(nihssTiTiT，在公式（2）~（5）中用)(iTs取代)(iTs即可。3.2考察随机利率的情况类似于Merton的随机利率期权定价方法的思想。令),0(TB表示T时价值为1的零息票债券在0t时的价格，则将（5）式改写为))(),([),0(1)1(1)(XsXsTBcniiTiiTiig（6）当然，若同时考察3.1中的情况，还需将i、)(iTs作相应的调整。3.3考察n情况这种情况在投资者的推断中一般不会出现。这里也仅考察gc和c的关系。假设n时，)()1(iTiTss任意小（1i），)()(iTisf，其中)()(iTsf为对数正态分布的密度函数在)(iTs上的取值，则由概率论知，niiTiinXs1)()(limniiTiins1)1(1(lim)]0,[max(ˆ)XsEXT，其中)]0,[max(ˆXsET为（1）式表示的期望值。即当投资者对股票价格随机变化的概率密度估计为连续函数，且该函数与Black-Scholes模型中的对数正态分布密度函数一致时，投资者对该期权的估计值与Black-Scholes模型定价结果一致。4投资决策及示例4.1投资决策由（5）式知，投资者给出期权价值的估计值为一区间数，则投资者如何利用这个区间数进行投资决策呢？这与投资者的风险厌恶程度有关。下面给出gc中大于c的元素组成的子区间的可信度，不同的投资者可以根据这个可信度进行决策。记],[21)(GGectTrg或],)[,0(21GGTBcg，cectTr)(1或),0(/1TBcc，则将],[21GG中大于1c的子区间与)(12GG的比值作为gc中大于c的元素组成的子区间的可信度21211121211,0,,1GcGcGGGcGcGp（7）显然，p值越大对投资者越有利，10p，风险厌恶程度不同的投资者根据p的大小进行投资决策。4.2示例一欧式看涨期权，还有6个月（半年）的有效期，股票现价为42元，期权的执行价格为40元，无风险年利率为10%，股票价格的年波动率为20%，即：420s，40X，1.0r，2.0，5.0T，则7693.01d，6278.02d，049.38rTXe，76.4c；假设一投资者对股票在5.0T年后的估价为)40,38[Ts的可信度为1/6，)42,40[Ts的可信度为1/6，]46,42[Ts的可信度为2/3，则)0,2[XsT的可信度为1/6，)2,0[XsT的可信度为1/6，)6,2[XsT的可信度为2/3，由i和i的定义知，6/121，3/23，01，132，所以，]5,2[21315.01.0ecg=[2.219,5.231]，p0.156，投资者可根据p值的大小进行决策。5结束语本文给出了一种形式简单的欧式看涨期权的主观预期估价方法及投资决策，方法反映了投资者对标的股票价格变化的主观推断或权衡。该方法可以稍加改造用于欧式看跌期权的估价中。即只需将（2）式和（5）式相应地修改如下：XsXsiTiTi)()(,0,1，1,...,1ni（2）))(),([)(1)1(1)(iTiniiTiitTrgsXsXep（5）gp为欧式看跌期权的相应估价。