晶体宏观对称性

晶体宏观对称性点群袁定旺陈旭丽黄博文本章内容•晶体宏观对称操作（旋转轴，镜面，反演中心，反轴，映轴）•晶体对称元素组合定理•晶体中的32种点群推导•晶体按对称性分类•晶体几何学描述（坐标系建立）•晶系与点阵（14中布喇菲格子）•晶体学点群的对称元素方向及国际符号•点群符号（国际符号，熊弗里斯符号，对称元素组合符号）晶体的概念晶体是具有规则几何外形的固体晶体外形内部结构外部物理化学条件晶体对称外形晶体的本质特质：三维长程有序晶体微观结构：225Fm-3m如何描述晶体的宏观对称性？对称操作点群晶体中的宏观对称操作•分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操作。操作后的物体与操作前不可区分（复原，重合）•在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称操作，如简单旋转和镜像转动(反映和倒反)是点式操作（宏观对称操作）;使空间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作（微观对称操作），如平移，螺旋转动和滑移反映。•对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。晶体中的点对称性•种类•符号国际符号与熊夫利（Schonflies）符号点对称操作：在操作过程中保持空间有一个不动点的对称操作旋转轴反映面反演中心点晶体中的对称轴!晶体的宏观对称3!!!当!$J7M时!’$!!为一次轴!国际符号为!同理!可得二#三#四和六次轴!符号分别记为3!!0和J$对称轴的习惯符号用L’表示$理想晶体不含五次和高于六次的对称轴!这是区别其他物质轴对称的特征$这样的特点图$(!晶体对称定律证明之图解是由于晶体具有点阵结构的特性决定的!即所谓的晶体对称定律%)(C9Q#$%&’()&%55’$%&$具体表述为’在晶体中!只可能出现轴次为一次#二次#三次#四次和六次的对称轴!而不可能存在五次及高于六次的对称轴$简单证明如下$假设阵点!#3##0相隔为!有一’次轴通过阵点$每个阵点的环境都是相同的!以为半径转动!角度%!$J7M(’&!会得到另外的阵点$绕3顺时针方向转!角得到阵点D!!绕逆时针方向转!角得到阵点D3!如图60$由格子构造规律知!直线D!D3平行于!0!且D!D3长度为周期的整数倍!记作#!此处#为整数$故可以得出(3#9&!$#%6!7 &!$%#5!&(3%6!!&:%#5!&(3:/!%6!3&!!按照式%*!3&的限制!可得出不同的#值和!角!如下表’#3!75!#9&!!!(375!(35!!7MJ7ML7M!37M!K7M’!J03满足式%*!7&的!值只能是7M!J7M!L7M!!37M和!K7M$这就证明了点阵结构中旋转轴的轴次只能是一次#二次#三次#四次和六次的对称轴$图*H所示的就是分别具有二#三#四和六次对称轴的图形!对称轴皆经过图形中心并垂直纸面$图$0!具有.#!.$!.(和.1对称轴的图形从左至右#对称轴的对称变换矩阵可以用一个通式表达!为!#9&!&/:!75&/:!#9&!7&’$%77!%6!&对称操作的晶体学表示（习惯符号）旋转轴：反演中心：镜面：LnCP:P^,P//对称操作的图形表示：•对称操作使圆圈（代表原子或原子团）相对于对称元素移动某一量，一般把圆圈放在一般位置上，即不在对称元素上，对称操作的结果是由一个圆圈产生一组圆圈。它们都处于一般位置上，但是对称地相互联系着的，从而得到一组一般等效位置。1，如何在二维平面表示三维空间分布的一般等效位置？2，对于某种对称操作，其一般等效位置数目如何确定？一般等效位置晶体球面投影概念：对称操作的图形表示：如何区分旋转操作、镜面操作、反演等对称相关的位置（原子、分子）；如何用二维图形表示三维对称性从球心引各个晶面的法线和球面相交点即晶面在球面上的投影点极射赤面投影图乌尔夫网描述晶面关系点对称操作的图形表示一般位置与一般等效位置对称操作的数学描述在对称操作下，空间某一点的位置发生变化，这种坐标的改变可以通过一个矩阵变换来表述点群操作的矩阵表示•全同操作：全同操作(Identity)，符号表示为1(E)，对应于物体不动的对称操作，对应的变换矩阵为单位矩阵。•倒反中心(Inversioncenter)也称为反演中心或对称中心(Centerofsymmetry)，它的操作是通过一个点的倒反(反演)，使空间点的每一个位置由坐标为(x、y，z)变换到(-x，-y，-z)。符号为1(i)，变换矩阵为反映面--镜面反映操作是从空间某一点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取一点，使其到反映面的距离等于原来点到反映面的距离。符号为m(s)。为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该面的法线。如法线为[010]的反映面，可记为m[010]。{m[010]}(x、y，z)=(x，-y，z)x'100xy'010yz'001z特殊镜面和矩阵表示•关于对称平面（或镜面)m的反映，可以平行于(vertical，σv)或垂直于(horizontal，sh)主轴。•在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面，σd（dihedralplane）。或称对角镜面（diagonalplane）通过yz面的反映。旋转轴：绕某轴反时针旋转q=360/n度，n称为旋转轴的次数(或重数)，符号为n(Cn)。其变换矩阵为：cossinsincosqqqq00001旋转矩阵(掌握）11211211cossincos()(coscossinsin)cossinsin()(sincoscossin)cossinxryrxrrxyyrryxqqqqqqqqqq211211212121cossincossincossin0sincos0001cossin0()sincos0001zxxyyyxxxyyzzRqqqqqqqqqqqq三维空间任意轴旋转矩阵（了解）•旋转倒反轴，简称反轴(Axisofinversion，Rotoinversionaxis)，其对称操作是先进行旋转操作(n)后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作称为记为组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定是对称操作。其矩阵表示为：n1000100010000100001cossinsincoscossinsincosqqqqqqqq操作循序可以颠倒举例：四次旋转倒反轴反轴及其极射赤面投影2=m3=3+i4=4•i6=3+m反轴的极射赤面投影图p12c1234125463cabc反轴RotoinversionAxisp1265c3847156910781112342de旋转反映轴--映轴•旋转反映轴，简称映轴(rotoreflectionaxis)，其对称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对垂直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ(Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：1000100010000100001cossinsincoscossinsincosqqqqqqqq反轴和映轴间的对应关系•用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在新的晶体学国际表中只用反轴。•所有的点对称操作实际上可以简单的分为简单旋转操作和旋转倒反操作两种。全同操作就是一次真旋转轴，倒反中心为一次反轴，镜面为二次反轴，所有映轴都可以用等价反轴表示。•旋转倒反轴和旋转反映轴之间存在简单的一一对应关系，旋转角度为q的反轴和旋转角为(qp)的映轴是等价的对称轴，这一关系也很容易从他们的表示矩阵看出。所以1次，2次，3次，4次和6次反轴分别等价于2次，1次，6次，4次和3次映轴•点对称元素的组合定理对称要素有时并不是孤立的，且对称要素(操作)之组合也可导出新的对称要素(操作)。对称要素组合（共存）是有规律的，其规律是：必须遵循对称要素的组合定理；不符合对称要素组合定理的共存形式不可能存在。对称要素的组合问题提出例如：立方体3L44L36L29PC对称元素组合原理一、对称面之间的组合对称操作的组合由定理一可以得出：两个二次轴相交，交角为，则垂直于这两个二次轴所定平面必有一转轴为的n次轴。2Mm2点群二、对称面与对称轴组合(定理二）三、如果在偶次旋转轴上有对称中心，那么必定有一反映面与旋转轴垂直相交对称中心（定理三）区分对称操作相加与相乘：相加表示组合，包含二者及其乘积相乘表示两个操作必须同时进行（有先后之分）。4/m-3m-42m-6m2欧拉公式四、对称轴之间组合：五、对称轴之间组合定理：1，一个二次轴和一个n次轴垂直相交，则有n个二次轴同时与n次轴相交，而且相邻二次轴的夹角为n次轴转角的一半。2，两个二次轴相交，交角为，则垂直于这两个二次轴所定平面必有一转轴为的n次轴。24221，在有对称中心时，图形中偶次轴数目和反映面相等2，偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称中心3，反映面和对称中心的组合，必有一垂直反映面的二次轴思考：点群如何描述物体的点对称性？不同颜色球表示不同原子群的定义假设G是由一些元素组成的集合，即G={…，g，…}。在G中定义了一种二元合成规则(操作、运算，群的乘法)。如果G对这种合成规则满足以下四个条件：a)封闭性：G中任意两个元素的乘积仍然属于G。b)结合律：c)单位元素。集合G中存在一个单位元素e，对任意元素，有d)可逆性。对任意元素，存在逆元素，使则称集合G为一个群。GhfgGgf,effff11)()(,,ghfhfgGhgfffeefGfGfGf1点对称操作的集合•晶体学对称操作（点对称操作）集合满足群定义2[100]2[010]2[001],,,ECCC分子点群实例:PF5分子点群12种对称操作五个不同位置的F原子用不同的颜色表示点群对称操作的集合可以构成群点群：相交于一点的对称要素的集合所构成的对称群。即晶体宏观观察中所具有的点对称元素的组合或宏观对称类型称为点群。“点”：指所有的对称元素有一个公共点，它在全部对称操作中始终不动（通常取为原点）。“群”：指一组对称元素或一组对称操作的集合。DBAC点群的熊夫利（Schonflies）符号特别说明L2+C等价2/mL4+C等价4/mL6+C等价6/m三次反轴等价L3+C六次反轴等价L3+m（垂直）二次反轴等价m四次反轴为独立操作32晶类低、中、高级晶族7大晶系属于同一对称型的晶体高次轴的有无及多少晶体晶体的对称分类三斜晶系单斜晶系正交晶系三方晶系四方晶系六方晶系等轴晶系晶体低级晶族中级晶族高级晶族4L31L61L41L3L2+P3无L2或PL2＋P3晶体的对称分类晶体类型及对应的特征对称性•把晶体学坐标建立放在讲解点群国际符号之前讲！七大晶系(Thesevencrystalsystems)的对称描述晶系：按照晶胞的特征对称元素可以分成7个不同类型，称为晶系。晶系特征对称元素三斜无或反演中心单斜唯一的2次轴或镜面正交三个相互垂直的2次旋转轴或反轴。三方唯一的3次旋转轴或反轴。四方唯一的4次旋转轴或反轴。六方唯一的6次旋转轴或反轴。立方沿晶胞体对角线的四个3次旋转轴或反轴晶系的几何学描述：晶体学坐标系建立目的：方便描述各类晶系中对称操作的取向以及晶体中几何要素（点，线，面）平移单元：平行六面体与坐标系晶体学单胞（平行六面体）不同晶系中的标准单胞选择规则晶系标准单胞选择变通单胞选择三斜晶轴间交角尽可能接近直角。但不等于90度容许轴间交角不等于90单斜Y轴平行于