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习题八（A）1．用级数收敛的定义或级数的性质判断下列级数的敛散性：（1）)1(1nnn；（2）)23)(13(11nnn；（3）nn2πcos1；（4）nnn33ln1；（5）71001nnn；（6）nn001.011．解：(1)1112312)1(1nnnnnn因为)11(limnx所以发散．(2)0)23113181515121(31)231131(31)23)(13(1111nnnnwnnnnnn61)23121(31limnx所以收敛．(3)nn2cos1因为012coslimnx所以发散．（4）nnnnn)33ln(3)3(ln11所以是等比数列，又因为33lnq所以收敛．(5)71001nnn因为010017100limnnx所以发散．(6)nn001.011因为01001.01limnx所以发散．2．证明：若正项级数收敛，则级数必收敛．并举例说明其逆命题不成立．nnu121nnu解：因为=0所以存在当时nxulimun1nu所以存在当时，2nnuu又因为收敛，所以收敛。nnu121nnu例如：221,1nununn211nn收敛，而nn11发散所以其逆命题不成立。3．证明：若级数与都收敛，则正项级数21nnu21nnnnnu1，，21)(nnnununn1也收敛．解：因为)(222baab且)(21nnnva所以nnnva1收敛因为且)()(222nnnnvuvu221nnnvu所以收敛．221nnnvu因为2nnunu且收敛．21nnu所以nun收敛．4．证明：若级数与都收敛，且存在整数使得当时不等式成立nnu1nn1NNnnnnu成立，则级数必收敛．nn1若级数与都发散，且存在正整数使得当时不等式成立nnu1nn1NNnnnnu成立，试问级数是否必发散？nn1解：证明：因为收敛且收敛．nnu1nnv1所以收敛，所以收敛)(1nnnvu)(1nnnnvvu所以收敛．nn1例如：=-1发散，=1发散，收敛．nnv1nnu101nn所以级数未必发散．ssssnn15．已知正项级数与都发散，试问正项级数，是否也发散？说明理由．nnu1nn1nnnu，max1nnnu，min1解：由比较判别法知正项级数必发散，但未必发散，例如：nnnvu,max1nnnvu,min1令，01，,1是偶数，是奇数nuvnunnn则．)(0,minnvunn6．利用比较判别法及其极限形式判别下列正项级数的敛散性：（1）1141nn；（2）nn4πsin31；（3）)2)(12(91nnnn；（4）nnn23tan1；（5）nnn11（6）21211)13(nnnnnn；（7）43243214324321432；（8）nnnn)2(31；（9）nnn)(ln11；（10）nna111（其中常数）．0a解：（1）1111lim24nnn因为211nn收敛，所以1141nn收敛．（2）nnnnn434sin3lim=1因为14343limnnnn所以nnn431收敛．所以nnn4sin31收敛．(3)因为=)2(29)22)(12(91691])169(1[)43(1691])169(1[432nnnnunn且)2(291nn发散．所以)22)(12(91nnnn发散．（4）12323limnnnnmn因为12123limnn所以nn231收敛．所以nnmn231收敛．（5）nnnn1111因为nn11是发散的．所以nn11是发散的．（6）3)13()13(lim22121nnnnnnnnnnn，又因为nnnnnn)13(21收敛．所以原级数收敛．（7）=unn1691])169(1[)43(1691])169(1[432因为kkun(])169(1[为常数）且])169(1[n收敛．所以原式也收敛．（8）22)2(16111nnnnnnnnnn因为21nnn收敛，所以原式收敛．（9）nnnnnn1)(ln111因为nnn11收敛所以nnn)(ln11收敛．（10）当时，0a211n发散．当时，1annnnaa11111因为nna11收敛，所以111nna当时，1a111nna发散．所以当收敛，当时发散．1a1a7．利用比值判别法及根值判别法判别下列正项级数的敛散性：(1)！)1(1nnn3；(2)nnnn!31n；(3)314)!(nnn2(4)nnnn1231；（5）nnnna1（其中常数）；（6）0annnn4311（7）nnnn)]1[ln(1；（8）nnn4111；（9）nnnn)12()210(221221；（10）!20001nnn；解：(1)1!)1()!1()11(lim!)1()!1()11(lim3333nnnnnnnnnn所以收敛．(2)13)1(3lim!3)1()!1(3limlim111ennnnnnuunnnnnnnnnn所以发散．(3)14)!()14(])!1[(lim332321nnnnnnuunnn所以发散．(4)121121lim)12(lim3nnnnnnn所以是收敛的．(5)10limlimnanannnnn所以收敛．(6)131)431(limnnnnn所以收敛．(7)10)1ln(1lim])1[ln(limnnnnnnn所以收敛．(8)11)1(1lim41141ennnnn所以发散．(9)10121lim)12()210(22122limnnnnnnn所以收敛．(10)1012000lim!2000)!1(2000lim1nnnnnnn所以收敛8．判别下列交错级数的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛：（1）1)1(211nnn；（2）23)1(11nnn；（3）2ln)1(11nnn；（4）)1(12)1(11nnnnn；（5）1)1(11nnnn；（6）nnnn)1ln()1(11；（7）nnnnπsinπ1)1(111；（8）1πsin21nn；（9）251251241241231231；（10）121523312131213121311nn．解：（1）011lim2nn且1)1(11122nn所以1)1(211nnn又因为1121nn也收敛．所以原级数是绝对收敛的．（2）0231limnn且2)1(31231nn所以23)1(11nnn收敛，又因为2311nn发散所以23)1(11nnn条件收敛．（）302ln1lim2nn且2)1(ln12ln122nn02ln)1(211nnn，又因为2ln)1(211nnn所以发散，所以原级数条件收敛．（4）且11112112nnnn0)1(12limnnnn)1(12)1(11nnnnn所以收敛．又因为112)1(1211nnnnnnn发散．所以原级数条件收敛．（5）011nlim1limnnnnn且111111nnnn1)1(lim1nnnn所以收敛．又因为nnn11lim发散所以原级数条件收敛．)1lnlim)1ln(limn（6）(nnnenn因为所以nen10)1ln(limnnn1111nnenen因为nnnn)1ln()1(11所以nnn)1ln(1又因为发散，所以原级数条件收敛．（7）0sin1lim1nnn，因为，nn0')sin1(11sin1sin1111nnnn所以nnnnsin1)1(111所以收敛．又因为nnnsin111收敛，那么原级数绝对收敛．（8）因为nnn12所以nsin12nsin所以01sinlim2nn又因为1)1(sin1sin22nn所以1sin21nn收敛．又因为1sin21nn所以原级数条件收敛．n22n1数发散（9）=所以原级．)3121(1n（10）=121nn因为112112131nnnn收敛，且收敛．所以)3121(1211nnn且)3121(1211nnn收敛．级数收敛．，判别级数所以原nnnaa2119．设a是一个常数的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还：当0a时是条件收敛．0111121nnnnnnaaaa111121aaaaannnnnn时收敛．解当0a，时nnnaa111收敛．nnnaa211a1时所以绝对收敛．当nnnaa211c为常数）1a时c(所以nnnaa211发散2x1a当时10．设个别级数是一常数，判211cos1)1(nannaa的剑散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数的取值有关．解：因为0)cos1(lim22nna因为1cos,nan以)1cos(1cos1nana所121)1()cos1(nnna收敛．所以21)cos1(nan又因为收敛所以对任意常数级数绝对收敛．11．设是一个常数，判别级数aan1nnnan1sin)1(21是敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数的取值有关．解：因为a0')1sin(2nna以11)1(sin1sin22nnanna所又因为0)1sin(lim2nnan所以121)1)(1sin(nnnna收敛．nnan1sin21又因为发散．)1sin(21nnan条件收敛．经幂级数所以12．已nnxa)2(在点n10x处收敛，在点4x处发散，求幂级数的收敛半径与敛域．在处收敛．在点nnnxa1解：因为annnx)2(10x0x处发散．所以收敛半径是2R所以的收敛半径是nnxa2Rn1nnnx1a敛半域是[0，4的收]；13．求下列幂级数的收敛半