2017年高考数学(理)：专题05 解析几何

1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线Cy2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．10【答案】A【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则22||cospAB，则2222||sincos()2ppDE，所以22222211||||4()cossincossinppABDE2222222211sincos4()(cossin)4(2)4(22)16cossincossin2.【2017课标II，理9】若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．233【答案】A【解析】【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法①求出a，c，代入公式cea；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。3.【2017浙江，2】椭圆22194xy的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】试题分析94533e，选B．【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于cba,,的方程或不等式，再根据cba,,的关系消掉b得到ca,的关系式，建立关于cba,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．4.【2017课标3，理10】已知椭圆C22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为A．63B．33C．23D．13【答案】A【解析】【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法①求出a，c，代入公式e＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).5.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）22144xy（B）22188xy（C）22148xy（D）22184xy【答案】B【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,abc的方程，解方程组求出,ab，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mxnymn，（2）与22221xyab共渐近线的双曲线可设为2222(0)xyab，（3）等轴双曲线可设为22(0)xy等，均为待定系数法求标准方程.6.【2017北京，理9】若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m=_________.【答案】2【解析】试题分析221,abm，所以131cma，解得2m.【考点】双曲线的方程和几何性质【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a、b、c的关系222cab，否则很容易出现错误．以及当焦点在x轴时，哪些量表示22,ab，根据离心率的公式计算.7.【2017课标1，理】已知双曲线C22221xyab（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.【答案】233【解析】试题分析【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.8.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN。【答案】6【解析】试题分析如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点'F，做MBl与点B，NAl与点A，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。9.【2017课标3，理5】已知双曲线C22221xyab(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点，则C的方程为A．221810xyB．22145xyC．22154xyD．22143xy【答案】B【解析】试题分析双曲线C22221xyab(a＞0,b＞0)的渐近线方程为byxa，椭圆中2222212,3,9,c3abcab，椭圆，即双曲线的焦点为3,0，据此可得双曲线中的方程组222523bacabc，解得224,5ab，则双曲线C的方程为2145xy.故选B.【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程.【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为2220xyab，再由条件求出λ的值即可.10.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy中，双曲线222210,0xyabab的右支与焦点为F的抛物线220xpxp交于,AB两点，若4AFBFOF，则该双曲线的渐近线方程为.【答案】22yx【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质.【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122ByAx的形式，当0A，0B，BA时为椭圆，当0AB时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．11.【2017课标3，理20】已知抛物线Cy2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点4,2P，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线l的方程为20xy，圆M的方程为223110xy.或直线l的方程为240xy，圆M的方程为2291854216xy.【解析】所以2210mm，解得1m或12m.当1m时，直线l的方程为20xy，圆心M的坐标为3,1，圆M的半径为10，圆M的方程为223110xy.当12m时，直线l的方程为240xy，圆心M的坐标为91,42，圆M的半径为854，圆M的方程为2291854216xy.【考点】直线与抛物线的位置关系；圆的方程【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部.12.【2017课标1，理20】已知椭圆C2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明l过定点.【解析】试题解析（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134abab知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314bab，解得2241ab.故C的方程为2214xy.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.13.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C2212xy上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM。(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线3x上，且1OPPQ。证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【答案】(1)222xy。(2)证明略。【解析】Ziyuanku.com（2）由题意知1,0F。设3,,,QtPmn,则3,,1,,33OQtPFmnOQPFmtn，,,3,OPmnPQmtn。由1OPPQ得2231mmtnn，又由（1）知222mn，故330mtn。所以0OQPF，即OQPF。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【考点】轨迹方程的求解；直线过定点问题。【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有(1)直接法直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。(2)待定系数法已知所求曲线的类型，求曲线方程。(3)定义法先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。(4)代入(相关点)法动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。14.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E22221xyab0ab的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图，动直线l132ykx交椭圆E于,AB两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为2k，且1224kk，M是线段OC延长线上一点，且:2:3MCAB，M的半径为MC，,OSOT是M的两条切线，切点分别为,ST.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.【答案】（I）2212xy.（Ⅱ）SOT的最大