实验手段的教学价值探讨

1实验手段的教学价值探讨苏州中学夏炎1、一个值得思考的问题科学是一种活动，教一个活动的昀好方法是演示，学一个活动的昀好方法是做。这里的演示不仅仅指的是教师的讲解和板书，这里的做也不单纯是指“做习题”，而是要求教师创设一种环境和气氛，在教与学的过程中再创造或再发现所教的东西，让学生感觉到一切都是当着学生的面发生的，而不是以教条的形式去灌输。数学的教学应当成为、也完全可以成为问题解决的一种活动。怎么能做到这一点呢？现有的教学经验表明，学生通过自己的努力和智慧，在充分尝试、历经磨难之后所获得的数学知识，比起教师的详细讲解所获得的，留下的印象要深刻得多，运用起来也更加得心应手，因为他们获得的理解经历了一个合情合理的观察、思考、推导的过程，从正负两个方面都去实验了一番。因此，让学生自己动手去实验。通过各种途径和方式去探索，这无疑是很有价值和意义的。实验可以帮助人们获取感性认识，并推动人们的感性认识上升为理性认识，通过实际操作而获得的经验是达到真正理解的基础。国际数学教育委员会（ICMI）成立后不久，即于1912年的大会上特别讨论了两个问题，其中之一便是“中学数学教学中的直觉与实验”，可见“实验”在中学数学教学中的历史地位。“幂势既同，则积不容异”，我国古代数学家祖暅早在公元五世纪便在实验的基础上总结出了这一公理，并应用它推导出了球的体积公式，可见我们的祖先也是很重视实验的。目前，英国中小学的数学教材正在进行一系列的改革，其中一点就是对刚具有初级水平的学生也布置适当的探究作业”（Investigationwork）。例如：“在均匀分布有钉子的板上用橡皮筋围一个图形，问：橡皮筋接触了多少个钉子？中间有几个钉子？图形的面积是多少？再围一些其他的图形，看看能不能发砚钉子的数目与图形的面积有什么关系？”让学生通过不断的操作和实验、观察、探索，去发现规律，这对培养学生的创造性思维能力无疑是很有益的。可见当今国外的数学教育对“实验手段”的应用仍是很重视的。“实验手段”的教学价值及其意义又具体表现在哪些方面呢？本文拟就这一问题从以下四个方面作一些探讨．2、通过实验帮助学生逐渐形成概念，增强对新知识的感性认识．我们先来看一个实例：在教育儿童对“7”的认识时，可以安排他去分苹果，这七个苹果可以分成1＋6个，也可以分成2＋5个，还可以分成3＋4个，从而让儿童感知：7作为一个整体，它可以分成两个部分（这是加法运算的基础），并且随着一部分的增多，另一部分逐渐减少（这里又孕伏着函数的思想）。因此，在幼儿园或小学的教室里储备有各种各样的器材，如积木、着色棒、几何模型、直尺、算盘、格子纸等等；教师可以深思熟虑地使用这些器材鼓励学生去操作、试验、探索、讨论，使数学的学习成为一种主动的活动过程。这一事例表明，数学是以经验为基础的，应当教育并引导学生从现实经验中抽象出数学的概念和结构，先进行游戏或实验，然后将得到的经验整理成一个有意义的整体，继而产生顿悟和理解，形成新的概念和新的认识。现在人们已不再把数学学习仅仅看成被动地接受外部作用的影响，即先通过感知，然后变为表象，进而形成概念，却不考虑学生本人的能动性和创造性，而是更侧重于解剖教学情境下学生的认识过程。我们说实验不仅可以让初学者去感受概念，还可以帮助学生在一定程度上去理解、揭示概念。面对一个新的概念，我们当然希望将其来龙去脉向学生讲清楚，但问题并不如此简单，有一些概念在中学教材现有知识的范畴内只能如此“定义”，但不作一个交代似乎又说不过去。这些“理论’上的难点借助于实验却往往能事半功倍。例如“球面距离”这一概念的教学：在学习“球面距离”之前，我们已经接触到了许多有关距离的概念，如点、线、面之间的距离，归纳起来有关距离的定义应符合以下三点：1、存在性；2、唯一性；3昀小性。就“球面距离”定义的合理性来说，其存在性和唯一性是显而易见的，关键是昀小性的讨论，即球面上任意两点，是不是经过该两点的大圆劣弧的长昀短呢？许多学生存有疑问。根据2中学生的实际情况，若用微积分的知识去严格地论证，那太费劲了．而借助实验的手段直观地给以验证恰是一件简单明了的事情。如图1，分别以Oi（i=1，2，3，4）为圆心，作过点A，B的劣孤（或半圆），易见随着半径AOi的增大，其弧长Ci00001234（图1）越来越短，并逐步趋于线段AB的长，即两点之间的弧长中，以较大半径的圆所在的弧长较短，通过这一生动直观的实验，使学生对球面距离的概念以及它的昀小性有了一个感性上较为明确的认识，同时达到了教学目的和效果。数学的教育应有三个不同的层次，即确认、证实和证明。有些事实通过说理使学生确认、相信就行了，不必严谨，如圆的周长和面积等。第二层次是证实，即通过学生的操作，从实践经验中得出数学的概念和结论，如实验几何；第三层次才是严格的证明和推理。如果我们的教学老是瞄准第三层次，高标准，严要求，这不仅会超出学生的接受能力，增加学生的负担，还会将生动有趣的数学僵化了，变得枯燥无味，使广大的学生敬而远之。从这个意义上讲，将实验引入数学教学，还能活跃课堂气氛，减轻教学负担，给抽象的数学裹上一件生动的外装。3、通过实验，发现规律，揭示结论，培养学生的探索能力．数学素质应包括这样四个方面，即数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流。目前我国数学教育比较注重的是逻辑推理能力和运算表述能力的训练和培养，但过分强调未免偏颇。这里既有传统观念的积习，也有应试负面的影响，经过多年的思索和探索，人们已形成了一个初步的共识，即数学教育改革的一个突破口应是提倡“问题解决”。我们所说的“问题解决”，它不同于通常课堂教学中的例题讲解或习题解答，昀大的区别就在于问题的可探索性和探索价值不同．因此,在课堂教学中如能引导学生用眼去观察，动手去实验，用脑去思考，自己去探索，象一个小数学家那样提出问题、分析问题、解决问题，那不仅很有趣，而且也是很有益的．如“球的体积公式”这一课的教学，我们可以这样来引入课题。当教师提出V球=？，学生很关心问题的答案，注意力一下子被吸引住了．这时，教师需要有耐心，不要立即吐出你的全部秘密．为了让学生能够通过自己的努力提出合理的猜想，可以设计这样两个辅助环节，增加问题的探索价值和探索层次：（1）观察、对比。出示模型（图2）。请同学们一起来观察、目测。问V圆柱、V半球、V圆锥这三者之间大小关系如何？（图2）观察是探索问题的第一步。学生容易看出V圆柱＞V半球＞V圆锥上述不等关系即πR3＞V半球＞313πR3,即33πR3＞32πR3＞31πR3。在对形的观察和量的分析的基础上．引导学生去大胆地猜想：V半球=？猜想，往往是发现真理的重要一步．也许有许多的猜想是错误的，但每一个猜想必定有其合理的部分，加以综合分析，或者是肯定、或者是否定，这对鼓励学生学习的主动性和创造性都有积极的意义。有一些学生小心谨慎地提出了他们的猜想：V半球＝32πR3，但更多的学生半信半疑。（2）实验、验证。一个训练有素的科学家不会轻易相信猜想，他会从另一个角度去考虑其猜想是否合理。确实，上述猜想似乎太冒风险了，那么不妨让学自己动手做一次实验：取一个半径为R的半球面，再取一个半径和高都是R的圆锥容器，两次将圆锥容器装满细沙，并倒入半球内，发现半球恰好被装满。中学的物理、化学有实验，数学也可以有实验，直观、易懂的实验对激发学生学习的兴趣，培养学生的探索能力是很有利的。这一实验结果表明，2V圆锥=V半球，即V半球=32πR3。另外，上述实验还表明，半径为R的半球的体积等于半径和高都为R的圆柱挖去一个等底等高的圆锥所剩下部分的体积，这也为接着的球体公式推导过程中参照体的构造打下了伏笔。增加以上两个辅助环节，从目测到发现，并通过实验证实了猜想，从而形成了一个完整的认知过程。几何不仅是演绎科学的范例．也是一门很好的实验学科，特别是在几何入门阶段．若能准备并使用一些具体的材料。加折纸、拼图、量具、容器等，那么完全可以将抽象的几何教学演变为具体生动的演示活动，在反复实验的过程中，几何学中的概念、性质及其结论都在学生的面前一一展示了出来。再如，为了引导学生去探讨三角形的内角和，可以先让学生拿一些全等的三角形去铺地板；又如，在证明三角形的三条角平分线共点这一结论之前，可以先让学生通过尺规作图验证一下。通过这些实验手段，增加了问题的探索层次，培养了学生的动手能力和模拟能力，更可贵的是揭示了问题从提出到解决的全过程，变静态的被动学习为动态的活动过程，从这个意义上讲，笔者认为有必要加强初中平面几何中“尺规作图”的教学。一项“我国经济和社会的发展对数学基础知识和技能的需要的调查研究”表明，工具作图占第三位，仅次于计算器的使用和三视图。“尺视作图”本身又是实验几何的必要手段，学生从中既可以学会几何，又可以得到应用，同时还可以提高他们学习几何的兴趣，特别是入门阶段，可以帮助学生对几何问题作出直观理解和近似检验．4、教学教学实验的另一种手段一“思考实验”在相对论的论证中，经常出现“让我们没想”、“让我们尝试”之类的词句，这被爱因斯坦称之为“思考实验”。确实，与物理、化学的实验比较，数学的实验手段似乎要简单很多，没有那么多的器材和设备，但数学的实验又有其不简单、更深层次的另一面，即不仅要动手，更需要用脑，这也可以说是数学实验手段一个新的特征。例如数学归纳法的教学，其本身就是一项很有意义的“思考实验”,这里包括用实验的方法收集数据，进而归纳猜想，并给出证明，是培养学生归纳、探索能力的一个很好的题材。但就现行的中学数学课本，对这一内容的处理及例题的介绍还有一些不足，有待进一步改进。例1平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点。证明：这n条直线交点的个数是21n（n－1）。分析：这是现行高中数学课本《代数》第二册上的一道例题，在这里问题的结论已经给出，因此整个的证明过程仍是围困在演绎体系之中。在教学过程中，学生常会提出这样的疑问：这个结论事先是怎么知道的呢？可见学生更感兴趣的是通过自己的努力独立地去探索、发现结论。因此，作为数学归纳法应用的一道例题，它的缺陷是明显的：思考实验的机会少了，探索、归纳、猜想等许多有意义的事情被4教材和教师包办替代了，学生所能做的仅仅是演绎论证。笔者认为若将原题改为：例1’平面内的n条直线昀多有多少交点？这样效果会更好一些，至少可以增加这样两个实验、探索的层次：1、欲使交点个数昀多；直线的位置关系应如何？2、由n=1，2，3，…的情况，通过不完全归纳，自己去发现规律，提出猜想，然后去论证。在这里，作图、观察、分析、归纳的过程正是一项很有价值的“思考实验”。“思考实验”的过程实际上是一种不断尝试、调整、归纳、总结的过程，再如某些几何中的昀值问题的讨论，可以从调整有关变量的取值入手安排试验，通过对试验结果的比较，找出变量的变化规律及相互联系，昀终确定所需的昀值。例2、过∠A内部一点M作一直线，使它与∠A截得的△ABC有昀小面积．分析：如何去截？很难马上定论，那不妨先过点M任意作一条直线交∠A的两边于B1、C1（如图）如果有B1M＜C1M，则将B1C1绕点M顺时针方向作一微小变动到B2C2位置，这时仍有B2M＜C2M，易知S△B1MB2＜S△C1MC2，即S△ABlC1＞S△AB2C2，这时△ABC的面积得到了“改善”，如此不断地实验下去，可以看出，只要有BM≠CM，则△ABC的面积仍可继续调整并得到“改善”。至此，我们不难发现，当且仅当BM＝CM，S△ABC取得昀小值。B1B2MAC1C2一个数学问题的求解，有其一定的策略和思想方法。就实验的方式来看，有模型的方法（如代数题的几何模型）、模式的方法（如特殊到一般的模式）和模拟的方法（如简明实物工具的模拟）。这里的实验手段既有依赖于实物或工具的，但更多的、也是更主要的是“思考实验”。从一九九0年起，上海市开展每年一度的大学及中学的数学模型竞赛，这是“思考实验”进入课堂、落实到教学之中的有益的尝试，相信对学生提高解决实际问题的能力会有很大帮助。5让计算机进入课堂，使数学的实验手段丰富起来。现代科学技术的发展为数学教学手段的多样化、现代化提供了有力的保证