2014年考研数学一真题及答案详解

第1页共18页2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（A）xxysin（B）xxysin2（C）xxy1sin（D）xxy12sin2．设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)())(()(110，则在],[10上（）（A）当0)('xf时，)()(xgxf（B）当0)('xf时，)()(xgxf（C）当0)(xf时，)()(xgxf（D）当0)(xf时，)()(xgxf３．设)(xf是连续函数，则yydyyxfdy11102),(（Ａ）210011010xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(（Ｂ）0101110102xxdyyxfdxdyyxfdx),(),((Ｃ）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020drrrfddrrrfd（Ｄ）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd４．若函数dxxbxaxdxxbxaxRba2211)sincos(min)sincos(,，则xbxasincos11（Ａ）xsin2（Ｂ）xcos2（Ｃ）xsin2（Ｄ）xcos2５．行列式dcdcbaba00000000等于第2页共18页（A）2)(bcad（B）2)(bcad（C）2222cbda（D）2222cbda6．设321,,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,,线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件7．设事件A，B想到独立，3050.)(,.)(BAPBP则)(ABP（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.48．设连续型随机变量21XX,相互独立，且方差均存在，21XX,的概率密度分别为)(),(xfxf21，随机变量1Y的概率密度为))()(()(yfyfyfY21211，随机变量)(21221XXY，则（A）2121DYDYEYEY,（B）2121DYDYEYEY,（C）2121DYDYEYEY,（D）2121DYDYEYEY,二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．曲面)sin()sin(xyyxz1122在点),,(101处的切平面方程为．10．设)(xf为周期为4的可导奇函数，且2012,),()('xxxf，则)(7f．11．微分方程0)ln(ln'yxyxy满足31ey)(的解为．12．设L是柱面122yx和平面0zy的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分Lydzzdx．13．设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),,(的负惯性指数是1，则a的取值范第3页共18页围是．14．设总体X的概率密度为其它,,),(02322xxxf，其中是未知参数，nXXX,,,21是来自总体的简单样本，若niiXC12是2的无偏估计，则常数C=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxxdttetxtx1112112．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．16．（本题满分10分）设函数)(xfy由方程06223yxxyy确定，求)(xf的极值．17．（本题满分10分）设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx满足xxeyezyzxz222224)cos(．若0000)(',)(ff，求)(uf的表达式．18．（本题满分10分）设曲面)(:122zyxz的上侧，计算曲面积分：dxdyzdzdxydydzx)()()(1113319．（本题满分10分）设数列nnba,满足2020nnba,，nnnbaacoscos且级数1nnb收敛．（1）证明0nnalim；（2）证明级数1nnnba收敛．20．（本题满分11分）第4页共18页设302111104321A，E为三阶单位矩阵．（1）求方程组0AX的一个基础解系；（2）求满足EAB的所有矩阵．21．（本题满分11分）证明n阶矩阵111111111与n00200100相似．22．（本题满分11分）设随机变量X的分布为2121)()(XPXP，在给定iX的条件下，随机变量Y服从均匀分布210,),,(iiU．（1）求Y的分布函数；（2）求期望).(YE23．（本题满分11分）设总体X的分布函数为00012xxexFx,,),(，其中为未知的大于零的参数，nXXX,,,21是来自总体的简单随机样本，（1）求)(),(2XEXE；（2）求的极大似然估计量．（３）是否存在常数a，使得对任意的0，都有0aPnn^lim．第5页共18页参考答案：一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（A）xxysin（B）xxysin2（C）xxy1sin（D）xxy12sin【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于xxy1sin，可知1xyxlim且01xxyxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy应该选（C）2．设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)())(()(110，则在],[10上（）（A）当0)('xf时，)()(xgxf（B）当0)('xf时，)()(xgxf（C）当0)(xf时，)()(xgxf（D）当0)(xf时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21xx,及常数10，恒有)()()()(212111xfxfxxf，则曲线是凸的．显然此题中xxx,,1021，则)()()(211xfxf)()())((xgxfxf110，而)()(xfxxf211，故当0)(xf时，曲线是凸的，即)()()()(212111xfxfxxf，也就是)()(xgxf，应该选（C）【详解2】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)())(()()()()(110，则010)()(FF，且第6页共18页)()(xfxF，故当0)(xf时，曲线是凸的，从而010)()()(FFxF，即0)()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（C）３．设)(xf是连续函数，则yydyyxfdy11102),(（Ａ）210011010xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(（Ｂ）0101110102xxdyyxfdxdyyxfdx),(),((Ｃ）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020drrrfddrrrfd（Ｄ）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图．【详解】积分区域如图所示云梯教育，专注考研，更加专业，旗下推出的免费手机应用“口袋题库考研”更是新一代的考研利器，内含免费历年真题及答案解析，科学的复习笔记，更有学长学姐的经验分享，更多功能及资料下载请抓紧时间下载应用或者加入QQ群97240410！如果换成直角坐标则应该是xxdyyxfdxdyyxfdx101010012),(),(，（A），（B）两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd．应该选（D）４．若函数dxxbxaxdxxbxaxRba2211)sincos(min)sincos(,，则xbxasincos11（Ａ）xsin2（Ｂ）xcos2（Ｃ）xsin2（Ｄ）xcos2第7页共18页【详解】注意3232dxx，222dxxdxxsincos，0dxxxdxxxsincoscos，2dxxxsin，所以bbadxxbxax42322232)()sincos(所以就相当于求函数bba422的极小值点，显然可知当20ba,时取得最小值，所以应该选（A）．５．行列式dcdcbaba00000000等于（A）2)(bcad（B）2)(bcad（C）2222cbda（D）2222cbda【详解】20000000000000000)()()(bcadbcadbcbcadaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba应该选（B）．6．设321,,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,,线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解】若向量321,,线性无关，则第8页共18页（31k，32l）Klk),,(),,(3213211001，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于2，所以向量31k，32l一定线性无关．而当000010001321,,时，对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关，但321,,线性相关；故选择（A）．7．设事件A，B想到独立，3050.)(,.)(BAPBP则)(ABP（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(APAPAPBPAPAPABPAPBAP505030．所以60.)(AP，)(ABP205050.)(..)()(APABPBP．故选择（B）．云梯教育，专注考研，更加专业，旗下推出的免费手机应用“口袋题库考研”更是新一代的考研利器，内含免费历年真题及答案解析，科学的复习笔记，更有学长学姐的经验分享，更多功能及资料下载请抓紧时间下载应用或者加入QQ群97240410！8．设连续型随机变量21XX,相互独立，且方差均存在，21XX,的概率密度分别为)(),(xfxf21，随机变量1Y的概率密度为))()(()(yfyfyfY21211，随机变量)(21221XXY，则（A）2121DYDYEYEY,（B）2121DYDYEYEY,（C）2121DYDYEYEY,（D）2121DYDYEYEY,【详解】)())()((2212112121YEEXEXdyyfyfyEY，222121221212121EXEX