641.系统的状态空间模型

现代控制理论基础讲义第一章系统的状态空间模型1主讲：吴舒辞总学时：32学时授课班级：2007自动化1班（31人）、自动化2班（32人）授课时间：1—8周，2010.3.1——2009.4.22（周一3-4节，南302；周四1-2节，南302）考试时间：第9周参考教材：《现代控制理论简明教程》，许世范，陈颖，侯媛彬编著.中国矿业大学出版社，1996年1月主要参考书：《现代控制理论与工程》，东南大学王积伟主编高等教育出版社，2003年2月第一版，研究生教学用书，【1】联系方式：8623001，Mbial-13873149836，[e-mail]1940—1950年代，以频域方法为基础建立了古典控制理论，其特征是①以传递函数作为描述“受控对象”动态过程的数学模型，进行系统分析与综合；②适用范围仅限于线性、定常（时不变）、确定性的、集中参数的单变量（单输入单输出，简称SISO）系统；③能解决的问题是以系统稳定性为核心的动态品质。1950年代兴起的航天技术为代表的更加复杂的控制对象是一个多变量系统（多输入多输出，简称MIMO），有的控制对象具有非线性和时变特性，甚至具有不确定的、分布参数特性等。在控制目标上，希望能解决在某种目标函数意义下的最优化问题，如最少燃料消耗，最小时间等。所有这些，都给包括“系统建模”和“控制方法”等在内的“理论”和“方法”提出了新问题，这些问题是古典控制理论所不能解决的。现代控制理论应运而生！1950—1960年代不少科学家为此作出了杰出贡献，其中应特别提到的是庞特里亚金（Понтрягин）的“极值原理”，贝尔曼（Bellman）的“动态规划”，卡尔曼（Kalman）的“滤波”、“能控性和能观性”理论等。正是这些理论上的突破性成果奠定了现代控制理论的基础，并成为控制理论由“古典控制理论”发展到“现代控制理论”的里程碑。1960年召开的美国自动化大会上正式确定了“现代控制理论ModernControlTheory”名称。“现代控制理论”是以建立在时域基础上的“状态空间模型”作为描述受控对象动态过程的数学模型，在某种意义上，“现代控制理论”是以“最优控制”为核心的控制理论。现代控制理论基础讲义第一章系统的状态空间模型2“现代控制理论”包括“线性系统理论”、“最优控制”、“系统辨识”、“自适应控制”等分支。“现代控制理论”诞生以来，不论在理论上还是在应用方面一直处于十分活跃的发展状态，得到了广泛应用并显示巨大的魅力，“现代控制理论”已成为渗透到各学科领域的一门新兴的横向学科而倍受人们的重视。控制工程：电气、机械、化工、冶金、轻工、交通、煤炭、航空航天等领域；非工程领域：生物医学、企业管理、社会科学等领域。“现代控制理论”的出现，不是对古典控制理论的否定，而是对他的发展，古典控制理论在工程上仍然是一项重要的控制理论基础和方法。在“复杂环境”下由“复杂控制对象”完成“复杂任务”（简称复杂系统，即ComplexSystems）的控制问题的提出，使“现代控制理论”也面临着新的挑战，并由此推动了“智能控制”与“智能自动化”的发展，但这也并未因此而使“现代控制理论”失去其理论和应用价值，相反，客观实际需求的不断提高，正为控制理论的发展提供了进一步开拓的天地。Chapter1系统的状态空间模型1.1状态空间的模型表示法1.1.1状态空间法的基本概念系统分类：①已知输入信息)(可以是超越方程等代数方程获得输出信息，例如各种比例放大器；②已知输入信息微分方程，初始条件获得输出信息，例如各种动态系统。例1-1：)()(tFtxm设位置)()(1txtx，速度)()(2txtx)()()()(221tFtxmtxtxmtFtxtxtxtx)(10)()(0010)()(2121状态：动态系统的状态，是指能完全描述系统时域行为的一组相互独立的变量组（给定变量组的初始值)(0tx和输入函数)0(tu，就能完全确定输出)0(ty）；状态向量：系统有n个状态变量)(),...,(1txtxn，用这n个状态变量作为分量所构成的向量（通常以列向量表示）称为系统的状态向量：Tntxtxtx))(...)(()(1状态空间：以状态变量nxxx,...,,21为坐标轴所组成的n维空间，称为状态空间nX现代控制理论基础讲义第一章系统的状态空间模型3状态空间的每一个点均代表系统的某一特定状态。系统在0t时的各瞬时状态在状态空间中构成一条轨线。1.1.2状态空间模型的一般形式为了方便，有时将“纵矩阵”写为“横矩阵”形式TCACCAC写为。状态空间的数学模型包括：用一阶向量微分方程描述的状态方程，用一个代数方程描述的输出方程。状态方程：)),(),(()(ttutxftx输出方程：)),(),(()(ttutxty（也称观测方程）状态向量：Tntxtxtx))(...)(()(1，脚标T只表示将“竖式”写成“横式”；输入向量：Tmtututu))(...)(()(1，输出向量：Tptytyty))(...)(()(1对线性时变系统，上式可写成如下规范形式：111)()()()()(mmnnnnntutBtxtAtx，111)()()()()(mmpnnpptutDtxtCty对线性定常系统，可写成规范形式：111)()()(mmnnnnntuBtxAtx，111)()()(mmpnnpptuDtxCty物理意义：A系数矩阵，描述状态量本身对状态量变化的影响；B输入（控制）矩阵，描述输入量对状态量变化的影响；C输出矩阵，描述状态量对输出量变化的影响；D（直接）传递矩阵，描述输入量对输出量变化的直接影响；1u状态变量nxxx,,,212y2umu1ypy图1-1矩阵转置运算：TTTTABBABB)(；TTTTCACCAC“行矩阵”的转置等于分别转置后的“列矩阵”；“列矩阵”的转置等于分别转置后的“行矩阵”；利用矩阵的转置运算可将“列矩阵”表达为“行矩阵”形式。现代控制理论基础讲义第一章系统的状态空间模型4实际中，常常0D，故线性定常系统可用),,(CBA表示。1.1.3状态空间模型的建立6P例1-2：两个蓄水池系统模型如6P例1-2图所示。蓄水池1横断面积为1S，液面高度为1h，单位时间流入量为Q，通过阀1的单位时间的流出量为1C，阀1的阻抗为1R；蓄水池2横断面积为2S，液面高度为2h，通过阀1单位时间的流入量为1C，阀1的阻抗为1R，通过阀2的单位时间流出量为2C，阀2的阻抗为2R。指定蓄水池2的液面高度2h为被控量（输出），求出该系统的数学模型。例1-2图两个蓄水池系统模型P6解：根据流体力学定律，应有：体积增量=流入—流出2122111CCdtdhSCQdtdhS222121111SCSCxSuSCx式中：2211hxhx，为状态量；Qu为输入量此时，21CC、与液位成正比（与阻抗成反比），因此222111RxCRxC，222121211111RSxRSxxSuRSxx状态方程uStxtxRSRSRStxtx011)()(1101)()(12122121121输出方程：Txxy))(10(21现代控制理论基础讲义第一章系统的状态空间模型5与规范形式比较可得：)10(0111011221211CSBRSRSRSA也可消去其中一个变量写成：22122211222112111RSSuxRSRSxRSRSx讨论：系统有2个储能元件（水的势能），故为2阶，输入Qu，输出22hxy，112pmn，，4P例1-3：如下面电路运动图，试以电压u为输入，以电容上的电压Cu和电流2i为输出变量，列写其状态空间表达式。例1-3图电路运动图P4解：令状态量为11ix，22ix，Cux3，输出Cuy，3个状态变量）。1个输入，1m，3个状态变量（3个储能元件）3n，2个输出2p。向量Txxxx)(321完全描述了电路的内部状态，电路的动态过程，由状态变量的初始值)0(x和外部输入)(tu唯一确定。可列写出矩阵形式的状态方程如下。uLxxxCLLRRLRLRLRxxxBA控制矩阵系数矩阵00/10/10/1/)(/0//13212221211111321，32121100010xxxyyC输出矩阵5P例1-4：如下面机械运动图，试以力f为输入，以质量1M的位移1y，质量2M的位移2y为输出变量，列写其状态空间表达式。解：两个质量块，储存动能，两个弹簧，储存势能，共4个储能元件，4个状态变量。令状态量为11yx，12yx，23yx，24yx，fu；可列写出矩阵形式的状态方程如下。现代控制理论基础讲义第一章系统的状态空间模型6uMxxxxMBBMkkMBMkMBMkMBMkxxxxBnnA控制矩阵系数矩阵001010000010144,43212212212121111111114321系统1个输入，1m；4个储能元件，状态变量4n；2个输出，2p。向量Txxxxx)(4321可完全描述系统的内部状态，动态过程，由状态变量的初始值)0(x和外部输入)(tf唯一确定。例1-4图机械运动图P5TnpCxxxxy)(01000001432142,输出矩阵建立状态空间模型的小结：（1）选择系统中储能元件的输出量作为状态变量（有几个储能元件就有几个状态变量），然后根据系统的结构用物理定律写出状态方程；（2）选择系统输出及其各阶导数作为状态变量（有几阶导数就有几个状态变量）；（3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。由此，我们可以总结和比较经典控制和现代控制的特征：经典控制现代控制线性特征线性非线性时变特征定常（时不变）时变参数特征集中性、确定性参数分散性、不确定性参数变量特征单变量多变量现代控制理论基础讲义第一章系统的状态空间模型7要解决的核心问题稳定性最优控制主要分支线性系统、最优控制、系统辨识自适应控制1.2状态空间模型的图示法绘制状态空间结构图：(1)积分器的数目等于状态变量数，画在相应的位置；(2)每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，并注明相应状态变量的编号；(3)根据状态方程和输出方程画出加法器、比例器,用箭头把这些元件连接起来。图1-2基本元件符号图1-3为一阶系统buaxx状态结构图（参见7P图1-6）；图1-4为多输入多输出系统)()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx状态结构图（8P图1-7）。图1-4多输入、多输出系统状态结构图单输入、单输出线性定常系统微分方程的标准形式为：)(tx)(tx)(3tx)(1tx)(2txKxxK积分器加法器比例器)(tu)(tx)(txba图1-3一阶系统buaxx的状态结构图现代控制理论基础讲义第一章系统的状态空间模型8yayayaynnnn1)1(1)(...ububububmmmm1)1(1)(0...左边“状态端”系数a的脚标+导