正弦稳态分析

第十章正弦稳态分析•10－1正弦电压和电流•10－2正弦稳态响应•10－3基尔霍夫定律的相量形式•10－4RLC元件电压电流关系的相量形式•10－5正弦稳态的相量分析•10－6一般正弦稳态电路分析•10－7单口网络相量模型的等效•10－8双口网络的相量模型•10－9正弦稳态响应的叠加第十章正弦稳态分析从本章开始，我们研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应。线性时不变动态电路在角频率为ω的正弦电压源和电流源激励下，随着时间的增长，当暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为ω的正弦波时，称电路处于正弦稳态。满足这类条件的动态电路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路。正弦稳态分析的重要性在于：1.很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。2.用相量法分析正弦稳态十分有效。3.已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。§10－1正弦电压和电流一、正弦电压电流)110)cos()(im－（tIti(a)初相0的情况(b)初相=0的情况(c)初相0的情况图10-11、定义：按照正弦规律随时间变化的电压(或电流)称为正弦电压(或电流)，用AC或ac表示。2、函数式：振幅为Im（取正值）,角频率为ω，初相位为i3、波形图表示：Im：正弦电流的最大值，称为正弦电流的振幅(取正值)。ω：表示每单位时间变化的弧度数，称为正弦电流的角频率，其单位为弧度/秒(rad/s)。角频率与周期T和频率f的关系为：fT22)110)cos()(im－（tIti(ωt+i)：正弦电流的相位i=(ωt+i)|t=0是t=0时刻的相位，称为初相。初相的取值范围通常在-到+之间(a)初相0的情况(b)初相=0的情况(c)初相0的情况图10-1)110)cos()(im－（tIti振幅Im，角频率ω和初相i，称为正弦电流的三要素。与正弦电流类似，正弦电压的三要素为振幅Um，角频率ω和初相u，其函数表达式为)210()cos()(um－tUtu由于正弦电压电流的数值随时间t变化，它在任一时刻的数值称为瞬时值)110)cos()(im－（tIti例10-1已知正弦电压的振幅为10伏,周期为100ms,初相为/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。rad/s62.82010100223T解：先计算正弦电压的角频率正弦电压的函数表达式为V)3010cos(62.8)V620cos(10)cos()(umtttUtu正弦电压波形如图10-2所示。图10-2二、同频率正弦电压电流的相位差)cos()()cos()(22m211m1tItitIti正弦电流电路中，各电压电流都是频率相同的正弦量，我们分析这些电路时，常常需要将这些正弦量的相位进行比较。两个正弦电压电流相位之差，称为相位差，用表示。例如有两个同频率的正弦电流电流i1(t)与电流i2(t)之间的相位差为)310()()(2121tt上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等于它们初相之差，与时间t无关。相位差的量值反映出电流i1(t)与电流i2(t)在时间上的超前和滞后关系。)310()()(2121tt图10-300电流i1(t)超前于电流i2(t)电流i1(t)滞后于电流i2(t)图10-3当=1-20时，表明i1(t)超前于电流i2(t)，超前的角度为，超前的时间为/ω。当=1-20时，表明i1(t)滞后于电流i2(t)，滞后的角度为||，滞后的时间为||/ω。图(a)表示电流i1(t)超前于电流i2(t)的情况，图(b)表示电流i1(t)滞后于电流i2(t)的情况。同频率正弦电压电流的相位差有几种特殊的情况。1.同相:如果相位差=1-2=0,称电流i1(t)与电流i2(t)同相，如图(a)所示；2.正交:如果相位差=1-2=/2，称电流i1(t)与电流i2(t)正交，如图(b)所示，图中电流i1(t)超前电流i2(t)一个/2或90°；3.反相:如果相位差=1-2=，称电流i1(t)与电流i2(t)反相，如图(c)所示。图10-4(a)同相(b)正交(c)反相例10-2已知正弦电压u(t)和电流i1(t)，i2(t)的瞬时值表达式为A)60cos(10)(A)45cos(5)(V)180cos(311)(21ttittittu试求电压u(t)与电流i1(t)和i2(t)的相位差。135)45()180(电压u(t)与电流i2(t)的相位差为24060)180(习惯上将相位差的范围控制在-180°到+180°之间，我们不说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为-240，而说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为(360-240)=120。解：电压u(t)与电流i1(t)的相位差为A)60cos(10)(A)45cos(5)(V)180cos(311)(21ttittittu三、正弦电压电流的相量表示)cos()(mtUtu利用它的振幅Um和初相ψ来构成一个复数，复数的模表示电压的振幅，其幅角表示电压的初相，即mjmmeUUU分析正弦稳态的有效方法是相量法，相量法的基础是用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。假设正弦电压为它在复数平面上可以用一个有向线段来表示，如图所示。这种用来表示正弦电压和电流的复数，称为相量。图10-5mjmmeUUU设想电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，它在实轴投影为Umcos(t+ψ)，在虚轴上投影为Umsin(t+ψ)，它们都是时间的正弦函数，如图所示。图10-6旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影将电压相量ψeUUjmm与旋转因子ejt=cost+jsint相乘可以得到以下数学表达式)sin(j)cos(eemm)j(mtjmψtUψtUUUψt上式表明正弦电压与电压相量之间的关系为)sin(]eIm[)cos(]eRe[mtjmmtjmψtUUψtUUωω由此可得)eRe()cos()(jmmtUψtUtu由上述可见，一个随时间按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个称为相量的复数来表示。已知正弦电压电流的瞬时值表达式，可以得到相应的电压电流相量。反过来，已知电压电流相量，也能够写出正弦电压电流的瞬时值表达式。即immimummum)cos()()cos()(IItItiUUtUtu例10-3已知正弦电流i1(t)=5cos(314t+60)A,i2(t)=-10sin(314t+60)A。写出这两个正弦电流的电流相量，画出相量图，并求出i(t)=i1(t)+i2(t)。A]Re[A]ee5Re[A)60314cos(5)(314jm1314j60j1tteItti得到表示正弦电流i1(t)=5cos(314t+60)A的相量为A605Ae560jm1I解：根据以下关系正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为A605Ae5A)60314cos(5)(60j1m1Itti与此相似，对于正弦电流i2(t)=-10sin(314t+60)A可以得到以下结果三角公式sinx=cos(x-90)A15010A)18030314cos(10A)9060314cos(10A)60314sin(10)(m22Itttti注意：今后在用相量法分析电路时，应该将各正弦电压电流的瞬时表达式全部用余弦函数(正弦函数)表示。将各电流相量和画在一个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。A6051m＝IA15010m2I图10-7相量图的另外一个好处是可以用向量和复数的运算法则求得几个同频率正弦电压或电流之和。例如用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流相量，从而知道电流i(t)=Imcos(314t+ψ)的振幅大约为12A，初相大约为124°。作图法的优点是简单直观，但不精确。图10-7A4.1238.11)33.9j16.6()5j66.8()33.4j5.2(15010605m2m1mIII采用复数运算可以得到更精确的结果A)4.123314cos(8.11)314cos()()()(m21ttItititi图10-7四、正弦电压、电流的有效值TtRtiRTIW022d)(现在将直流电流I和正弦电流i(t)通过电阻R时的能量作一比较，由此导出正弦电压电流的有效值，它是一个十分有用的量。直流电流I和正弦电流i(t)=Imcos(t+ψ)通过同一电阻R，令它们在时间T内获得的能量相等由此解得)410()d(102TttiTI用此式计算出正弦电流i(t)=Imcos(t+ψ)的方均根值，称为正弦电流的有效值。具体计算如下)510(707.02)]d2t(2cos1[211)dt(cos1)d(1mm02m022m02IItITtITttiTITTTxx2cos1cos22与此相似，正弦电压u(t)=Umcos(t+ψ)的有效值为)610(707.02)d(1mm02UUttuTUT计算结果表明，振幅为Im的正弦电流与数值为I=0.707Im的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的倍。2有效值的概念在电力工程上非常有用，常用的交流电压表和电流表都是用有效值来进行刻度的，当我们用交流电压表或普通万用表测量正弦电压的读数为220V时，是指该电压的有效值为220V，其振幅值为V311V2202iiuu)cos(2)()cos(2)(IItItiUUtUtu由于正弦电压电流的振幅值与有效值间存在的关系，今后除了使用前面介绍的振幅相量和外，更多使用的是有效值相量和。正弦时间函数与有效值相量之间的关系如下：2ummψUUimmψIIuψUUiψII有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流。例如对于图10-8(a)所示三角波形，将瞬时值表达式tTAtg)(代入式(10－4)中3)(311d1)d(103220202AtTATttTATttgTGTTT计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值是的倍，或者说其振幅值是有效值的倍。313图10-8对于图(b)所示半波整流波形，将其瞬时值表达式)2/t(0ωsin)(TtAth代入式(10－4)中，可以得到半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍，或者说其振幅值是有效值的2倍的结论，具体计算过程如下：A5.02t]d2cos1[21tdsin1)d(12/022/02202AtTAtATtthTHTTT图10-8