天津高考题――概率专题

历年天津高考题——概率(2013天津，理16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝1322252547CC+CC6C7.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝3347C1C35，P(X＝2)＝3447C4C35，P(X＝3)＝3547C2C7，P(X＝4)＝3647C4C7.所以随机变量X的分布列是X1234P1354352747随机变量X的数学期望EX＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.（12年天津16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用,XY分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||XY，求随机变量的分布列与数学期望E.解：（1）每个人参加甲游戏的概率为13p，参加乙游戏的概率为213p这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248(1)27Cpp（2）44(4,)()(1)(0,1,2,3,4)kkkXBpPXkCppk，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9PXPX（3）可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81PPXPPXPXPPXPX随机变量的分布列为8401714802427818181E（11年天津16）．(本小题满分13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个．则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）(Ⅰ)求在1次游戏中，(ⅰ)摸出3个白球的概率；(ⅱ)获奖的概率；(Ⅱ)求在2次游戏中，获奖次数X的分布列及数学期望EX．【解】(Ⅰ)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件iA0,1,2,3i，则213232253CC1CC5PA．(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B，则23BAA，2112133222222225353CCCCC1CCCC2PA，因为2A和3A互斥，所以231172510PBPAPA．(Ⅱ)X的所有可能值为0,1,2X2790110100PX，12772111101050PXC，2749210100PX，024P82740811781所以X的分布列是数学期望921497012100501005EX．（10年天津18）.（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。【解析】（1）解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~25,3B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率23252240(2)133243PXC（Ⅱ）解：设“第i次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)iAi；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A,则123451234512345()()()()PAPAAAAAPAAAAAPAAAAA=3232321121123333333=881（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6312311(0)()327PPAAAX012P9100215049100123123123(1)()()()PPAAAPAAAPAAA=2221121122333333391232124(2)()33327PPAAA123123(3)()()PPAAAPAAA2221118333327123(6)()PPAAA328327所以的分布列是（09年天津18）（满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。解析：本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为Ck3，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CCkk373，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=CCCkk310373,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P24740214071201X的数学期望EX=109120134072402112470（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而,403)(31023131CCCAPP(A2)=P(X=2)=407,P(A3)=P(X=3)=1201,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=403+407+1201=12031（08年天津18）（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为161.（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B。由题意得1611122pBP解得43p或45（舍去），所以乙投球的命中率为43（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知41,43,21,21BPBPAPAP可能的取值为0，1，2，3，故321412102BBPAPP327214143241211212APBPBPCBBPAPP32122APBPBPBBPAPP329432132BBPAPP321531014PPPP的分布列为0123P3213273215329的数学期望232933215232713210E