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书书书２０１８年上半年中小学教师资格考试真题试卷（共４页）２０１８年上半年中小学教师资格考试真题试卷（共４页）—２ —２０１８年上半年中小学教师资格考试真题试卷《数学学科知识与教学能力》（高级中学）（时间１２０分钟 满分１５０分）题 号一二三四五六总 分核分人题 分４０３５１０１５２０３０１５０得 分得分评卷人 一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分）１．下列命题不正确的是（ ）Ａ．有理数集对于乘法运算封闭Ｂ．有理数可以比较大小Ｃ．有理数集是实数集的子集Ｄ．有理数集不是复数集的子集２．设ａ，ｂ为非零向量，下列命题正确的是（ ）（易错）（１）ａ×ｂ垂直于ａ；（２）ａ×ｂ垂直于ｂ；（３）ａ×ｂ平行于ａ；（４）ａ×ｂ平行于ｂ。正确的个数是（ ）Ａ．０个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｃ．３个３．设ｆ（ｘ）为开区间（ａ，ｂ）上的可导函数，则下列命题正确的是（ ）Ａ．ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上必有最大值Ｂ．ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上必一致连续Ｃ．ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上必有界Ｄ．ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上必连续４．若矩阵ａｂ()ｃｄ与ａｂμｃｄ()ν的秩均为２，则线性方程组ａｘ＋ｂｙ＝μ，ｃｘ＋ｄｙ＝{ν解的个数是（ ）（常考）Ａ．０个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．无穷多个５．边长为４的正方体木块，各面均涂成红色，将其锯成６４个边长为１的小正方体，并将它们搅匀混在一起，随机抽取一个小正方体，恰有两面为红色的概率是（ ）Ａ．３８Ｂ．１８Ｃ．９１６Ｄ．３１６６．在空间直角坐标系中，抛物柱面ｙ２＝２ｘ与平面ｘ－ｙ－２＝０的交为（ ）Ａ．椭圆Ｂ．两条平行直线Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线７．下面不属于“尺规作图三大问题”的是（ ）（常考）Ａ．三等分任意角Ｂ．作一个立方体使之体积等于已知立方体体积的二倍Ｃ．作一个正方形使之面积等于已知圆的面积Ｄ．作一个正方形使之面积等于已知正方形面积的二倍８．下列内容属于高中数学必修课程内容的是（ ）Ａ．风险与决策Ｂ．平面向量Ｃ．数列与差分Ｄ．矩阵与变换得分评卷人 二、简答题（本大题共５小题，每小题７分，共３５分）９．在什么条件下，矩阵ａｂ()ｃｄ存在逆矩阵？并求出其逆矩阵。１０．求二次曲面ｘ２－２ｙ２＋ｚ２＋ｘｙ＋１＝０过点（１，２，２）的切平面的法向量。（常考）１１．设ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ是Ｒ到Ｒ的函数，Ｖ＝｛ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ｜ａ，ｂ∈Ｒ｝是函数集合，对ｆ∈Ｖ，令Ｄｆ（ｘ）＝()ｆ′ｘ，即Ｄ将一个函数变成它的导函数，证明Ｄ是Ｖ到Ｖ上既单又满的映射。—１—２０１８年上半年中小学教师资格考试真题试卷（共４页）２０１８年上半年中小学教师资格考试真题试卷（共４页）—４ —１２．简述确定中学数学教学方法的依据。１３．简述你对《普通高中数学课程标准》（实验）中“探索并掌握两点间的距离公式”这一目标的理解。得分评卷人 三、解答题（本大题１小题，１０分）１４．设ｆ（ｘ）是Ｒ上的可导函数，且ｆ（ｘ）＞０。若()ｆ′ｘ－３ｘ２ｆ（ｘ）＝０，且ｆ（０）＝１，求ｆ（ｘ）。得分评卷人 四、论述题（本大题１小题，１５分）１５．论述在高中数学教学中如何理解与处理好面向全体学生与关注学生个体差异的关系。得分评卷人 五、案例分析题（本大题１小题，２０分）１６．案例：教学片段：通过前面的学习，我们已经得到了异面直线的概念，即不在同一个平面内的两条直线叫作异面直线。为了进一步理解这一概念，请同学们回答下面的问题：如图，在长方体ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱所在的直线中，与线段Ａ′Ｂ所在直线成异面直线的有几条？对于这个问题，甲、乙两位同学举手回答，甲同学回答５条，乙同学回答６条。教师只肯定了乙同学后，就要求学生们做另一组题目。问题：（１）针对教师的教学处理，谈谈你的看法；（１０分）（２）假如你是这位教师，教学中应如何处理甲同学这种“找不全”的现象？（１０分）得分评卷人 六、教学设计题（本大题１小题，３０分）１７．针对“二项式定理”的教学，教师制定了如下的教学目标：①掌握二项式定理，能用计数原理推导二项式定理；②经历发现二项式定理的过程。依据这一教学目标，请完成下列任务：（１）设计一个发现二项式定理的教学引入片段，并说明设计意图；（１５分）（２）给出引导学生运用计数原理推导二项式定理的基本步骤。（１５分）—３—参考答案及解析真题试卷２０１８年上半年中小学教师资格考试真题试卷一、单项选择题１．Ｄ【解析】一个有理数乘另一个有理数的积仍然是有理数，即有理数对于乘法运算是封闭的，Ａ项正确。有理数与数轴上的点构成单射，任何两个有理数都可以比较大小，Ｂ项正确。实数集包括有理数集和无理数集，而实数集又是复数集的真子集，所以有理数集是实数集的子集，也是复数集的子集，故Ｃ项正确，Ｄ项错误。２．Ｃ【解析】本题考查向量积的知识。向量积的定义，设向量ｃ由向量ａ与ｂ按如下方式确定：①向量ｃ的模｜ｃ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜ｓｉｎθ，θ为向量ａ与ｂ的夹角；②向量ｃ的方向既垂直于向量ａ，又垂直于向量ｂ，且其指向符合右手定则，则向量ｃ叫作向量ａ与ｂ的向量积，记作ｃ＝ａ×ｂ。根据向量积的定义，可知题干中的（１）（２）正确，（３）（４）错误。故本题选Ｃ。３．Ｄ【解析】根据微积分的知识，可导的函数必连续，所以Ｄ项正确。下面用函数()ｆｘ＝１ｘ，ｘ∈（０，１）说明Ａ、Ｂ、Ｃ三项都不正确。函数()ｆｘ＝１ｘ在ｘ∈（０，１）上可导，但它在（０，１）上没有最大值，也没有最小值，即它是无界的，Ａ、Ｃ错误。下证函数ｆ（ｘ）＝１ｘ在区间（０，１）上是不一致连续的：要证函数ｆ（ｘ）＝１ｘ在区间（０，１）上不一致连续，只需证δ＞０，ε＞０，ｘ１，ｘ２∈（０，１），且｜ｘ１－ｘ２｜＜δ，使得｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜＞ε即可，取ε＝１２，当ｘ１＝１ｎ，ｘ２＝１ｎ＋１（ｎ∈Ｎ）时，有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜＝｜ｎ－（ｎ＋１）｜＝１＞１２＝ε。所以函数()ｆｘ＝１ｘ在（０，１）上是不一致连续的，Ｂ项错误。４．Ｂ【解析】ｎ个未知量的非齐次线性方程组ＡＸ＝ｂ有解的充要条件是其系数矩阵Ａ的秩等于其增广矩阵Ｂ的秩。而当ｒ（Ａ）＝ｒ（Ｂ）＝ｎ时，方程组有唯一解，当ｒ（Ａ）＝ｒ（Ｂ）＜ｎ时，方程组有无穷多个解；当ｒ（Ａ）＜ｒ（Ｂ）时，方程组无解。本题中，因为线性方程组ａｘ＋ｂｙ＝ｕ，ｃｘ＋ｄｙ＝{ｖ的系数矩阵ａｂ()ｃｄ与增广矩阵ａｂｕ()ｃｄｖ的秩均为２，且等于未知量个数，所以该方程组有唯一解。５．Ａ【解析】锯成６４个边长为１的小正方体后，涂色的面有以下几种情况：涂３面的小正方体分别在大正方体的８个顶点处，共有８个；涂２面的小正方体分别是大正方体的每条棱的中间的２个，而大正方体共有１２条棱，那么，涂２面的小正方体有２×１２＝２４个；涂１面的小正方体分别是每个面的中间的４个，而大正方体共有６个面，那么，涂１面的小正方体有４×６＝２４个；６个面都没有涂色的小正方体有６４－８－２４－２４＝８个，则随机抽取一个小正方体，恰有两面为红色的概率是２４６４＝３８。６．Ｂ【解析】抛物柱面ｙ２＝２ｘ与平面ｘ－ｙ－２＝０可看作是ｘＯｙ平面内的曲线ｙ２＝２ｘ与直线ｘ－ｙ－２＝０沿平行ｚ轴方向平移得到的面。联立方程ｙ２＝２ｘ与方程ｘ－ｙ－２＝０，消去ｙ得ｘ２－６ｘ＋４＝０，其中Δ＝６２－４×４×１＝２０＞０，故在ｘＯｙ平面内曲线ｙ２＝２ｘ与直线ｘ－ｙ－２＝０的交是两个点。沿着平行于ｚ轴的方向平移这两个点，就得到了两条平行直线，即抛物柱面ｙ２＝２ｘ与平面ｘ－ｙ－２＝０—１—的交为平行于ｚ轴的两条平行直线。７．Ｄ【解析】“尺规作图三大问题”是指三等分角，即三等分任意角；立方倍积，即作一个立方体使之体积等于已知立方体体积的二倍；化圆为方，即作一个正方形使之面积等于已知圆的面积。８．Ｂ【解析】平面向量是高中数学必修４的内容，风险与决策是高中数学选修４－９的内容，数列与差分是高中数学选修４－３的内容，矩阵与变换是选修４－２的内容。二、简答题９．在什么条件下，矩阵ａｂ()ｃｄ存在逆矩阵？并求出其逆矩阵。【解析】令Ａ＝ａｂ()ｃｄ，若矩阵Ａ存在逆矩阵，则有Ａ－１＝ＡＡ，故而要求矩阵Ａ的行列式｜Ａ｜≠０，即Ａ＝ａｂｃｄ＝ａｄ－ｂｃ≠０。因为Ａ＝ｄ－ｂ－()ｃａ，则Ａ－１＝ＡＡ＝１ａｄ－ｂｃｄ－ｂ－()ｃａ。１０．求二次曲面ｘ２－２ｙ２＋ｚ２＋ｘｙ＋１＝０过点（１，２，２）的切平面的法向量。【解析】令Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ２－２ｙ２＋ｚ２＋ｘｙ＋１，则Ｆｘｘ，ｙ，()ｚ＝２ｘ＋ｙ，Ｆｙｘ，ｙ，()ｚ＝－４ｙ＋ｘ，Ｆｚｘ，ｙ，()ｚ＝２ｚ，曲面过Ａ点的切平面法向量是Ｆｘ()Ａ，Ｆｙ()Ａ，Ｆｚ()()Ａ，将Ａ点坐标（１，２，２）代入导函数中，得Ｆｘ()Ａ＝４，Ｆｙ()Ａ＝－７，Ｆｚ()Ａ＝４，得到切平面的法向量是（４，－７，４）。１１．设ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ是Ｒ到Ｒ的函数，Ｖ＝｛ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ｜ａ，ｂ∈Ｒ｝是函数集合，对ｆ∈Ｖ，令Ｄｆ（ｘ）＝()ｆ′ｘ，即Ｄ将一个函数变成它的导函数，证明Ｄ是Ｖ到Ｖ上既单又满的映射。【解析】先证满射：由题意，令ｆ（ｘ）＝ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ＝ａ２＋ｂ槡２ｓｉｎｘ＋()φ∈Ｖ，Ｄｆ（ｘ）＝()ｆ′ｘ＝ａ２＋ｂ槡２ｃｏｓｘ＋()φ∈Ｖ，对任意ａ２＋ｂ槡２ｓｉｎｘ＋()φ∈Ｖ，存在ａ２＋ｂ槡２·ｃｏｓｘ＋()φ∈Ｖ，使得Ｄａ２＋ｂ槡２ｓｉｎｘ＋()φ＝ａ２＋ｂ槡２ｃｏｓｘ＋()φ，故Ｖ到Ｖ是一个满射。再证单射：要证Ｄ是Ｖ到Ｖ上的单射，只需证对于任意的Ｄｆ（ｘ），有且仅有一个ｆ（ｘ）与之对应。显然，对任意Ｄｆ（ｘ１）≠Ｄｆ（ｘ２），有ｆ（ｘ１）≠ｆ（ｘ２），因此Ｄ是Ｖ到Ｖ上的单射。综上可知Ｖ到Ｖ既是单射又是满射，即Ｄ是Ｖ到Ｖ上既单又满的映射。１２．简述确定中学数学教学方法的依据。【参考答案】教学方法是教师引导学生掌握知识、技能，获得身心发展而共同活动的方法。选择中学数学教学方法的依据：（１）依据教学的目的和任务选择教学方法；（２）根据教材内容的特点选择教学方法；（３）依据学生的实际情况选择教学方法；（４）依据教师本身的素质选择教学方法；（５）依据各种教学方法的职能、适用范围和使用条件选择教学方法；（６）依据教学时间和效率的要求选择教学方法。１３．简述你对《普通高中数学课程标准》（实验）中“探索并掌握两点间的距离公式”这一目标的理解。【参考答案】“探索”是过程与方法目标行为动词，“掌握”是知识与技能目标行为动词。“探索和掌握两点间距离公式”这一目标的设置，要求学生不仅要记住该公式的内容，还需要掌握该公式的推导过程，联系知识间的内在关系，体会其中的数学思想，为进一步的学习提供必要的数学准备。探索并掌握两点间的距离公式有助于学生认识数学内容之间的内在联系。两点间的距离公式是中学数学学习的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位。探索两点间的距离公式的过程中需要数轴、直角坐标系、直角三角形、勾股定理等知识，而两点间的距离公式又是几何中最简单的一种距离，点到直线的距离、两条平行直线间—２—的距离、两平行平面间的距离、异面直线公垂线段的长度等计算最终都可以归结为两点间的距离。学生经历探索并掌握两点间的距离公式的学习过程，能够更好地体会并理解这些知识点的内在联系，这对学生构建知识体系，增强学习数学的信心很有帮助。探索并掌握两点间的距离公式有助于学生体会数形结合思想，形成正确的数学观。探索两点间的距离公式经历将几何问题代数化的过程，用代数的语言描述几何要素及其关系。两点间的距离公式是将几何问题转化为代数问题的重要桥梁和工具。利用距离公式分析代数结果的几何意义，也有助于最终解决几何问题。引导学生经历这样的数形结合的过程，对发展学生的推理能力很有益处。三、解答题１４．设ｆ（ｘ）是Ｒ上的可导函数，且ｆ（ｘ）＞０。若()ｆ′ｘ－３ｘ２ｆ（ｘ）＝０，且ｆ（０）＝１，求ｆ（ｘ）。【解析】由()ｆ′ｘ－３ｘ２ｆ（ｘ）＝０()ｆ′ｘ＝３ｘ２()ｆｘ